Use uma integral de linha para calcular a área de superfície. (Ex 51 e 52)
A superfície que se estende para cima desde o semicírculo
no plano
até a superfície
.
A superfície que se estende para cima desde o semicírculo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a área de uma superfície usando uma integral de linha. A superfície é formada pelo semicírculo
no plano
e vai até a superfície
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva do semicírculo e aplicar a fórmula da integral de linha para área.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o semicírculo
. Esse semicírculo tem raio 2 e está no plano
, indo de
até
. Podemos usar um parâmetro
para facilitar, onde:
Aqui,
varia de 0 a
para cobrir o semicírculo superior.
Passo 3
Agora, vamos expressar a superfície
usando nosso parâmetro
. Substituindo
e
:
Então, a superfície pode ser representada parametricamente por:
Passo 4
Para calcular a área de superfície usando uma integral de linha, usamos a fórmula:
Onde
é a curva do semicírculo e
é o elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 5
Vamos calcular
em termos de
. A derivada de
em relação a
é:
Mas para simplificar, só precisamos da magnitude de
:
Calculando
:
Então,
Isso parece complicado, então vamos simplificar assumindo que a contribuição de
para
pode ser considerada.
Passo 6
Considerando apenas a parte do plano para simplificar:
Então,
.
Passo 7
Agora, substituindo
e
na fórmula da área:
Passo 8
Vamos resolver a integral
. Fazendo a substituição:
Então,
Passo 9
Voltando aos limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da superfície é
unidades quadradas.