Use uma integral de linha para calcular a área de superfície. (Ex 51 e 52)
A superfície que se estende para cima desde o semicírculo no plano até a superfície .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a área de uma superfície usando uma integral de linha. A superfície é formada pelo semicírculo no plano e vai até a superfície . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva do semicírculo e aplicar a fórmula da integral de linha para área.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o semicírculo . Esse semicírculo tem raio 2 e está no plano , indo de até . Podemos usar um parâmetro para facilitar, onde:
Aqui, varia de 0 a para cobrir o semicírculo superior.

Passo 3

Agora, vamos expressar a superfície usando nosso parâmetro . Substituindo e :
Então, a superfície pode ser representada parametricamente por:

Passo 4

Para calcular a área de superfície usando uma integral de linha, usamos a fórmula:
Onde é a curva do semicírculo e é o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 5

Vamos calcular em termos de . A derivada de em relação a é:
Mas para simplificar, só precisamos da magnitude de :
Calculando :
Então,
Isso parece complicado, então vamos simplificar assumindo que a contribuição de para pode ser considerada.

Passo 6

Considerando apenas a parte do plano para simplificar:
Então, .

Passo 7

Agora, substituindo e na fórmula da área:

Passo 8

Vamos resolver a integral . Fazendo a substituição:
Então,

Passo 9

Voltando aos limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

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a)
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