A região situada abaixo do gráfico da função
e acima do intervalo
é ilimitada. Ela tem área finita ou infinita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a área da região que está abaixo do gráfico da função
e acima do intervalo
é finita ou infinita. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando a função de 0 até o infinito para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar a área abaixo da curva
de 0 até o infinito, precisamos calcular a integral imprópria:
Como o intervalo vai até o infinito, essa é uma integral imprópria. Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos deixar:
Agora, derivamos
em relação a
:
Mas na nossa integral temos
, então multiplicamos ambos os lados por 2:
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Agora, vamos voltar para a variável original
:
Como queremos calcular a integral de 0 até o infinito, vamos aplicar os limites:
Passo 5
Vamos calcular os limites:
- Quando
:
- Quando
:
Subtraindo os limites:
Resposta
A área da região é finita e vale
unidades de área.
Exercícios relacionados
Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
c) Calcule .
c) Calcule
Calcule a função geradora de
usando a relação de Binet.
Sabendo que
, utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência
é
.
Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
c) Calcule .
c) Calcule