A região situada abaixo do gráfico da função e acima do intervalo é ilimitada. Ela tem área finita ou infinita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a área da região que está abaixo do gráfico da função e acima do intervalo é finita ou infinita. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando a função de 0 até o infinito para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar a área abaixo da curva de 0 até o infinito, precisamos calcular a integral imprópria:
Como o intervalo vai até o infinito, essa é uma integral imprópria. Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos deixar:
Agora, derivamos em relação a :
Mas na nossa integral temos , então multiplicamos ambos os lados por 2:
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar :
Agora, vamos voltar para a variável original :
Como queremos calcular a integral de 0 até o infinito, vamos aplicar os limites:

Passo 5

Vamos calcular os limites:
  1. Quando :
  1. Quando :
Subtraindo os limites:

Resposta

A área da região é finita e vale unidades de área.

Exercícios relacionados

Seja , com e a sequência de termo geral , sendo .
c) Calcule .
Calcule a função geradora de
usando a relação de Binet.
Sabendo que , utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência é .
Seja , com e a sequência de termo geral , sendo .
c) Calcule .