Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
c) Calcule
.
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida no intervalo
e uma sequência
, onde
. O objetivo aqui é calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de Riemann, que nos ajuda a aproximar áreas sob curvas e calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Basicamente, ela divide o intervalo
em
partes iguais, cada uma com largura
. Em cada subintervalo, a gente escolhe um ponto
e multiplica pela largura
. A soma de todos esses produtos aproxima a área sob a curva de
de
a
.
Passo 3
Agora, substituindo
na expressão da soma, temos:
Aí a gente precisa somar os valores de
de
até
, o que é uma progressão aritmética.
Passo 4
Sabemos que a soma dos primeiros
números naturais é:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como
tende a zero quando
cresce sem limite, o limite total é
.
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.