Seja f(x)=x, com x in[0,1] e a sequência de termo geral sn=sumi=1^n f(in) cdot De, sendo De.
c) Calcule lim sn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo e uma sequência , onde . O objetivo aqui é calcular o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de Riemann, que nos ajuda a aproximar áreas sob curvas e calcular integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Basicamente, ela divide o intervalo em partes iguais, cada uma com largura . Em cada subintervalo, a gente escolhe um ponto e multiplica pela largura . A soma de todos esses produtos aproxima a área sob a curva de de a .

Passo 3

Agora, substituindo sn = sumi=1^n ( in ) cdot 1n = 1n^2 sumi=1^n i na expressão da soma, temos:
Aí a gente precisa somar os valores de de até , o que é uma progressão aritmética.

Passo 4

Sabemos que a soma dos primeiros sumi=1^n i = n(n+1)2 números naturais é:
sn = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n+12n
Substituindo isso na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty n+12n = limn to infty ( n2n + 12n ) = limn to infty ( 12 + 12n ) quando tende ao infinito:
Como tende a zero quando cresce sem limite, o limite total é .

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .

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