Calcule as funções derivadas das seguintes funções: f(x) = log_3(x) / cos(x) + e^2 ln(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de derivadas, funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar das regras de derivação, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever em termos de logaritmo natural, porque a derivada de é mais direta de calcular. Sabemos que:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na primeira parte da função: . Para derivar isso, usamos a regra do quociente, que é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular e :
  • Derivada de :
Porque a derivada de é .
  • Derivada de :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos distribuir o denominador :
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, vamos derivar a segunda parte da função original: . A constante permanece e a derivada de é . Então:

Resposta

Juntando tudo, a derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as funções derivadas das seguintes funções: f(x) = e^x sen(x)
  1. Lei dos Gases Ideais A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é P V=m R T, onde R é a constante do gás.
    (a) Mostre que partial Ppartial V partial Vpartial T partial Tpartial P=-1.
    (b) Mostre que T partial Ppartial T partial Vpartial T=m R.
Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
a_n = ln(n)
  1. Definição Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L e escrevemos
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
se para todo número varepsilon>0 houver um número correspondente de de0 tal que se(x, y) in D e 0 então |f(x, y)-L|