Calcule as funções derivadas das seguintes funções: f(x) = log_3(x) / cos(x) + e^2 ln(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de derivadas, funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar das regras de derivação, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever em termos de logaritmo natural, porque a derivada de é mais direta de calcular. Sabemos que:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na primeira parte da função: . Para derivar isso, usamos a regra do quociente, que é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular e :
  • Derivada de :
Porque a derivada de é .
  • Derivada de :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos distribuir o denominador :
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, vamos derivar a segunda parte da função original: . A constante permanece e a derivada de é . Então:

Resposta

Juntando tudo, a derivada da função é:

Exercícios relacionados