Calcule as funções derivadas das seguintes funções: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de derivadas, funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar das regras de derivação, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever em termos de logaritmo natural, porque a derivada de é mais direta de calcular. Sabemos que:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na primeira parte da função: . Para derivar isso, usamos a regra do quociente, que é:
Aqui, e .
Passo 4
Vamos calcular e :
Derivada de :
Porque a derivada de é .
Derivada de :
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos distribuir o denominador :
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, vamos derivar a segunda parte da função original: . A constante permanece e a derivada de é . Então: