Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o ínfimo e o supremo da sequência
. Isso envolve conceitos de limites e propriedades das funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender o que são ínfimo e supremo e como eles se aplicam à sequência dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o ínfimo. O ínfimo de uma sequência é o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência. Basicamente, é o “menor limite” que a sequência não ultrapassa por baixo.
Passo 3
Agora, o supremo é o contrário: é o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência. É o “maior limite” que a sequência não ultrapassa por cima.
Passo 4
Vamos analisar a sequência
. Sabemos que o logaritmo natural
é uma função crescente, ou seja, conforme
aumenta,
também aumenta.
Passo 5
Vamos verificar o primeiro termo da sequência: quando
, temos
. Esse é o menor valor que a sequência assume, já que para
,
.
Passo 6
Como a função
cresce sem limites à medida que
aumenta, não há um número real que sirva de limite superior para todos os termos da sequência. Ou seja, a sequência não tem um supremo finito.
Resposta
O ínfimo da sequência é
e o supremo é
.
Exercícios relacionados
Calcule as funções derivadas das seguintes funções:
.
Calcule as funções derivadas das seguintes funções:
- Definição Seja
uma função de duas variáveis cujo domínio contém pontos arbitrariamente próximos de . Dizemos que o limite de quando tende a é e escrevemos
se para todo número
houver um número correspondente de
tal que
e
então
Estude as convergências das sequências
: