Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
a_n = ln(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o ínfimo e o supremo da sequência . Isso envolve conceitos de limites e propriedades das funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender o que são ínfimo e supremo e como eles se aplicam à sequência dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o ínfimo. O ínfimo de uma sequência é o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência. Basicamente, é o “menor limite” que a sequência não ultrapassa por baixo.

Passo 3

Agora, o supremo é o contrário: é o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência. É o “maior limite” que a sequência não ultrapassa por cima.

Passo 4

Vamos analisar a sequência . Sabemos que o logaritmo natural é uma função crescente, ou seja, conforme aumenta, também aumenta.

Passo 5

Vamos verificar o primeiro termo da sequência: quando , temos . Esse é o menor valor que a sequência assume, já que para , .

Passo 6

Como a função cresce sem limites à medida que aumenta, não há um número real que sirva de limite superior para todos os termos da sequência. Ou seja, a sequência não tem um supremo finito.

Resposta

O ínfimo da sequência é e o supremo é .

Exercícios relacionados

Calcule as funções derivadas das seguintes funções: f(x) = log_3(x) / cos(x) + e^2 ln(x).
Calcule as funções derivadas das seguintes funções: f(x) = e^x sen(x)
  1. Definição Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L e escrevemos
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
se para todo número varepsilon>0 houver um número correspondente de de0 tal que se(x, y) in D e 0 então |f(x, y)-L|
Estude as convergências das sequências a_n :
(-1)^n/n