- Definição Seja
uma função de duas variáveis cujo domínio
contém pontos arbitrariamente próximos de
. Dizemos que o limite de
quando
tende a
é
e escrevemos
se para todo número
houver um número correspondente de
tal que
e
então
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que tá rolando aqui. A gente tem uma função de duas variáveis, ou seja, depende de
e
. O enunciado está falando sobre o limite dessa função quando os pontos
se aproximam de um ponto específico
. O conteúdo que vamos precisar é sobre limites de funções de várias variáveis e a definição formal de limite usando
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função de duas variáveis. Quando dizemos que
estamos afirmando que, conforme os valores de
e
se aproximam de
e
, respectivamente, os valores de
se aproximam de
.
Passo 3
Agora, vamos entrar na definição formal usando
e
. O que isso basicamente diz é que podemos tornar
tão próximo de
quanto quisermos, desde que
e
estejam suficientemente próximos de
e
.
Passo 4
Vamos quebrar isso:
-
: Esse é o quão próximo queremos que esteja de . Pode ser um valor qualquer maior que zero, por menor que seja. -
: Esse é o quão próximo precisa estar de para garantir que esteja dentro da faixa definida por .
Passo 5
A condição que precisamos satisfazer é a seguinte:
Se está dentro do domínio
e a distância entre
e
é menor que
, ou seja,
Se
então a diferença entre
e
deve ser menor que
:
Passo 6
Em outras palavras, para qualquer nível de precisão que a gente queira para o valor do limite (
), existe uma “zona de segurança” ao redor de
(definida por
) onde todos os pontos dentro dessa zona fazem com que
fique dentro da faixa de precisão desejada em relação a
.
Resposta
Então, resumindo, a definição formal de limite para uma função de duas variáveis afirma que
se, para qualquer
, existe um
tal que sempre que os pontos
estiverem dentro de um raio
de
(exceto no ponto
em si), os valores de
estarão dentro de uma distância
de
.
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.
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:
n)