1. Definição Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L e escrevemos
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
se para todo número varepsilon>0 houver um número correspondente de de0 tal que se(x, y) in D e 0 então |f(x, y)-L|

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que tá rolando aqui. A gente tem uma função de duas variáveis, ou seja, depende de x e y. O enunciado está falando sobre o limite dessa função quando os pontos (x, y) se aproximam de um ponto específico (a, b). O conteúdo que vamos precisar é sobre limites de funções de várias variáveis e a definição formal de limite usando varepsilon e de.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função de duas variáveis. Quando dizemos que
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
estamos afirmando que, conforme os valores de x e y se aproximam de a e b, respectivamente, os valores de f(x, y) se aproximam de L.

Passo 3

Agora, vamos entrar na definição formal usando varepsilon e de. O que isso basicamente diz é que podemos tornar f(x, y) tão próximo de L quanto quisermos, desde que x e y estejam suficientemente próximos de a e b.

Passo 4

Vamos quebrar isso:
  • varepsilon > 0: Esse é o quão próximo queremos que f(x, y) esteja de L. Pode ser um valor qualquer maior que zero, por menor que seja.
  • de 0: Esse é o quão próximo (x, y) precisa estar de (a, b) para garantir que f(x, y) esteja dentro da faixa definida por varepsilon.

Passo 5

A condição que precisamos satisfazer é a seguinte:
Se (x, y) está dentro do domínio D e a distância entre (x, y) e (a, b) é menor que de, ou seja,
0 < raiz(x-a)^2 + (y-b)^2 < de
então a diferença entre f(x, y) e L deve ser menor que varepsilon:
|f(x, y) - L| < varepsilon

Passo 6

Em outras palavras, para qualquer nível de precisão que a gente queira para o valor do limite ( varepsilon), existe uma “zona de segurança” ao redor de (a, b) (definida por de) onde todos os pontos dentro dessa zona fazem com que f(x, y) fique dentro da faixa de precisão desejada em relação a L.

Resposta

Então, resumindo, a definição formal de limite para uma função de duas variáveis afirma que lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L se, para qualquer varepsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que os pontos (x, y) estiverem dentro de um raio de de (a, b) (exceto no ponto (a, b) em si), os valores de f(x, y) estarão dentro de uma distância varepsilon de L.

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