1. Lei dos Gases Ideais A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é P V=m R T, onde R é a constante do gás.
    (a) Mostre que partial Ppartial V partial Vpartial T partial Tpartial P=-1.
    (b) Mostre que T partial Ppartial T partial Vpartial T=m R.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão ( P), volume ( V) e temperatura ( T) de um gás. Precisamos usar derivadas parciais para demonstrar duas igualdades específicas. Para isso, vamos precisar manipular a equação dos gases ideais e aplicar regras de derivação.

Passo 2

Parte (a): Demonstrar que partial Ppartial V partial Vpartial T partial Tpartial P = -1
Primeiro, vamos escrever a equação dos gases ideais:
P V = m R T
Aqui, m é a massa do gás e R é a constante dos gases.
Vamos isolar uma das variáveis para facilitar as derivadas. Vamos resolver para P:
P = m R TV
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Calculando partial Ppartial V:
    Considerando T constante,
    partial Ppartial V = -m R TV^2 = -PV
  2. Calculando partial Vpartial T:
    Resolvendo a equação para V,
    V = m R TP
    Derivando em relação a T com P constante,
    partial Vpartial T = m RP = VT
  3. Calculando partial Tpartial P:
    Resolvendo para T,
    T = P Vm R
    Derivando em relação a P com V constante,
    partial Tpartial P = Vm R = TP
Agora, multiplicamos as três derivadas:
partial Ppartial V cdot partial Vpartial T cdot partial Tpartial P = (-PV) cdot (VT) cdot (TP) = -1

Passo 3

Parte (b): Demonstrar que T partial Ppartial T partial Vpartial T = m R
Vamos usar novamente a equação dos gases ideais:
P V = m R T
Primeiro, vamos derivar P em relação a T:
Resolvendo para P,
P = m R TV
Derivando em relação a T com V constante,
partial Ppartial T = m RV
Agora, derivamos V em relação a T:
Resolvendo para V,
V = m R TP
Derivando em relação a T com P constante,
partial Vpartial T = m RP
Agora, multiplicamos T pelas duas derivadas:
T cdot partial Ppartial T cdot partial Vpartial T = T cdot (m RV) cdot (m RP)
Sabemos da equação dos gases que P V = m R T, então podemos substituir V:
V = m R TP
Substituindo na expressão:
T cdot m Rm R TP cdot m RP = T cdot PT cdot m RP = m R

Resposta

(a) partial Ppartial V partial Vpartial T partial Tpartial P = -1
(b) T partial Ppartial T partial Vpartial T = m R

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