- Lei dos Gases Ideais A lei dos gases para uma massa fixa
de um gás ideal à temperatura absoluta
, pressão
e volume
é
, onde
é a constante do gás.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão (
), volume (
) e temperatura (
) de um gás. Precisamos usar derivadas parciais para demonstrar duas igualdades específicas. Para isso, vamos precisar manipular a equação dos gases ideais e aplicar regras de derivação.
Passo 2
Parte (a): Demonstrar que
Primeiro, vamos escrever a equação dos gases ideais:
Aqui,
é a massa do gás e
é a constante dos gases.
Vamos isolar uma das variáveis para facilitar as derivadas. Vamos resolver para
:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
-
Calculando
: Considerandoconstante, -
Calculando
: Resolvendo a equação para, Derivando em relação acom constante, -
Calculando
: Resolvendo para, Derivando em relação acom constante,
Agora, multiplicamos as três derivadas:
Passo 3
Parte (b): Demonstrar que
Vamos usar novamente a equação dos gases ideais:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Resolvendo para
,
Derivando em relação a
com
constante,
Agora, derivamos
em relação a
:
Resolvendo para
,
Derivando em relação a
com
constante,
Agora, multiplicamos
pelas duas derivadas:
Sabemos da equação dos gases que
, então podemos substituir
:
Substituindo na expressão:
Resposta
(a)
(b)
Exercícios relacionados
(2,0 pontos) Encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
(b) .
(b)
Calcule as funções derivadas das seguintes funções:
Calcule as funções derivadas das seguintes funções:
Calcule as funções derivadas das seguintes funções:
.