Calcule para . Escolha a melhor ordem de derivação

Passo 1

Vamos calcular a segunda derivada mista da função . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais, que nos permite derivar uma função em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Como , ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que não depende de .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para obter . Ou seja, vamos calcular .
A derivada de em relação a é .

Resposta

A segunda derivada mista é .

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Mostre que , para , satisfaz a equação do calor (ou equação da difusão térmica)
Exercício 5. Encontre a área da região delimitada pelo círculo .
Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência , em que representa a população no ano . O crescimento anual é de do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano .
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano .
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para ?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de ? (Em outras palavras, encontre para que .)
Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.