Calcule
para
. Escolha a melhor ordem de derivação
Passo 1
Vamos calcular a segunda derivada mista
da função
. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais, que nos permite derivar uma função em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Como
, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é zero, já que não depende de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para obter
. Ou seja, vamos calcular
.
A derivada de
em relação a
é
.
Resposta
A segunda derivada mista é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
, para
, satisfaz a equação do calor (ou equação da difusão térmica)
Exercício 5. Encontre a área da região delimitada pelo círculo
.
Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência
, em que
representa a população no ano
. O crescimento anual é de
do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano
.
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano
.
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para
?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população
excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de
? (Em outras palavras, encontre
para que
.)
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para
(ii) Recalcule a população após 10 anos
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de
Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.