Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular as raízes quadradas do número complexo
e depois representar essas raízes graficamente. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a forma polar e a Fórmula de De Moivre.
Passo 2
Vamos começar representando o número complexo
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde:
-
é o módulo (ou magnitude) do número complexo. -
é o argumento (ou ângulo) do número complexo.
Para
:
- O módulo
é:
- O argumento
é:
Portanto, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos usar a Fórmula de De Moivre para encontrar as raízes quadradas de um número complexo. A fórmula para encontrar as raízes
-ésimas de
é:
onde
.
Como queremos as raízes quadradas, vamos definir
. Assim, teremos duas raízes correspondentes a
e
.
Passo 4
Vamos calcular a primeira raiz para
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda raiz para
:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
As duas raízes de
são
e
.
Representação Gráfica
Para representar graficamente essas raízes no plano complexo:
-
Raiz
: - Parte real:
- Parte imaginária:
- Ponto no plano:
- Parte real:
-
Raiz
: - Parte real:
- Parte imaginária:
- Ponto no plano:
- Parte real:
![Representação das raízes no plano complexo](https://i.imgur.com/SeuLinkExemplo.png)
Obs.: Substitua “https://i.imgur.com/SeuLinkExemplo.png” por um link válido para a imagem da representação gráfica.
Exercícios relacionados
Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência
, em que
representa a população no ano
. O crescimento anual é de
do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano
.
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano
.
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para
?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população
excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de
? (Em outras palavras, encontre
para que
.)
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para
(ii) Recalcule a população após 10 anos
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de
Calcule
para
. Escolha a melhor ordem de derivação
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.