Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular as raízes quadradas do número complexo e depois representar essas raízes graficamente. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a forma polar e a Fórmula de De Moivre.

Passo 2

Vamos começar representando o número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde:
  • é o módulo (ou magnitude) do número complexo.
  • é o argumento (ou ângulo) do número complexo.
Para :
  • O módulo é:
  • O argumento é:
Portanto, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos usar a Fórmula de De Moivre para encontrar as raízes quadradas de um número complexo. A fórmula para encontrar as raízes -ésimas de é:
onde .
Como queremos as raízes quadradas, vamos definir . Assim, teremos duas raízes correspondentes a e .

Passo 4

Vamos calcular a primeira raiz para :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda raiz para :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

As duas raízes de são e .

Representação Gráfica

Para representar graficamente essas raízes no plano complexo:
  1. Raiz :
    • Parte real:
    • Parte imaginária:
    • Ponto no plano:
  2. Raiz :
    • Parte real:
    • Parte imaginária:
    • Ponto no plano:
Representação das raízes no plano complexo
Obs.: Substitua “https://i.imgur.com/SeuLinkExemplo.png” por um link válido para a imagem da representação gráfica.

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© Análise de Variação de Parâmetros
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Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.