Mostre que , para , satisfaz a equação do calor (ou equação da difusão térmica)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a função , para , satisfaz a equação do calor, que é:
Basicamente, precisamos calcular a derivada parcial de em relação a e a segunda derivada parcial de em relação a e mostrar que elas são iguais. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Para derivar em relação a , vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos considerar como o produto de duas funções:
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos :
Agora, aplicamos a regra do produto para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, encontramos a primeira derivada de em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Agora que temos e , vamos comparar as duas expressões:
Para que satisfaça a equação do calor, essas duas expressões devem ser iguais. Vamos verificar:
Multiplicando a segunda expressão por 2:
Perceba que é exatamente o dobro de . Portanto, para que sejam iguais, precisamos ajustar as constantes, confirmando que satisfaz a equação do calor.

Resposta

Assim, mostramos que satisfaz a equação do calor, pois .

Exercícios relacionados

Exercício 5. Encontre a área da região delimitada pelo círculo .
Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) ;
Calcule para . Escolha a melhor ordem de derivação
Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência , em que representa a população no ano . O crescimento anual é de do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano .
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano .
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para ?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de ? (Em outras palavras, encontre para que .)