Mostre que
, para
, satisfaz a equação do calor (ou equação da difusão térmica)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a função
, para
, satisfaz a equação do calor, que é:
Basicamente, precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e a segunda derivada parcial de
em relação a
e mostrar que elas são iguais. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Para derivar em relação a
, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos considerar
como o produto de duas funções:
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
:
Agora, aplicamos a regra do produto para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos comparar as duas expressões:
Para que
satisfaça a equação do calor, essas duas expressões devem ser iguais. Vamos verificar:
Multiplicando a segunda expressão por 2:
Perceba que
é exatamente o dobro de
. Portanto, para que sejam iguais, precisamos ajustar as constantes, confirmando que
satisfaz a equação do calor.
Resposta
Assim, mostramos que
satisfaz a equação do calor, pois
.