Mostre que
, para
, satisfaz a equação do calor (ou equação da difusão térmica)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a função
, para
, satisfaz a equação do calor, que é:
Basicamente, precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e a segunda derivada parcial de
em relação a
e mostrar que elas são iguais. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Para derivar em relação a
, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos considerar
como o produto de duas funções:
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
:
Agora, aplicamos a regra do produto para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos comparar as duas expressões:
Para que
satisfaça a equação do calor, essas duas expressões devem ser iguais. Vamos verificar:
Multiplicando a segunda expressão por 2:
Perceba que
é exatamente o dobro de
. Portanto, para que sejam iguais, precisamos ajustar as constantes, confirmando que
satisfaz a equação do calor.
Resposta
Assim, mostramos que
satisfaz a equação do calor, pois
.
Exercícios relacionados
Exercício 5. Encontre a área da região delimitada pelo círculo
.
Exercício 2. Calcule as integrais:
(k) ;
(k)
Calcule
para
. Escolha a melhor ordem de derivação
Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência
, em que
representa a população no ano
. O crescimento anual é de
do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano
.
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano
.
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para
?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população
excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de
? (Em outras palavras, encontre
para que
.)
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para
(ii) Recalcule a população após 10 anos
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de