Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência
, em que
representa a população no ano
. O crescimento anual é de
do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência
que descreve a população de coelhos no ano
.
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após
.
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para
em termos do ano
.
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos
.
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para
. Como isso afetaria a fórmula explícita para
?
(ii) Recalcule a população após 10 anos
usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de
para o qual a população
excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de
? (Em outras palavras, encontre
para que
.)
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para
(ii) Recalcule a população após 10 anos
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma ilha com 1000 coelhos inicialmente, e a cada ano a população cresce 10% em relação ao ano anterior. Isso faz a gente trabalhar com sequências recursivas e explícitas, que são formas de modelar o crescimento de uma população ao longo do tempo. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são fórmulas recursivas e como transformar isso numa fórmula que dá diretamente a população no ano que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência
que descreve a população de coelhos no ano
.
Uma fórmula recursiva é aquela que define cada termo da sequência com base no termo anterior. Aqui, a cada ano, a população aumenta 10%, ou seja, multiplica por 1,10.
Então, a fórmula recursiva fica assim:
Com a condição inicial:
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após 3 anos
.
Vamos calcular passo a passo usando a fórmula recursiva.
- Ano 0:
- Ano 1:
- Ano 2:
- Ano 3:
Passo 3
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para
em termos do ano
.
Uma fórmula explícita permite calcular diretamente qualquer termo da sequência sem precisar calcular todos os anteriores. Como estamos lidando com crescimento percentual constante, estamos diante de uma progressão geométrica.
A fórmula geral para uma progressão geométrica é:
Onde:
-
é a população inicial. -
é a razão de crescimento (10% a mais a cada ano).
Então, a fórmula explícita fica:
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos
.
Vamos substituir
na fórmula:
Calculando
:
Então:
A população após 10 anos será aproximadamente 2594 coelhos.
Passo 4
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para
. Como isso afetaria a fórmula explícita para
?
Se a taxa de crescimento passa de 10% para 8%, a razão da progressão geométrica muda de
para
.
Então, a nova fórmula explícita fica:
(ii) Recalcule a população após 10 anos
usando a nova taxa de crescimento.
Usando a nova fórmula com
:
Calculando
:
Então:
A população após 10 anos será aproximadamente 2159 coelhos com a taxa de 8%.
Passo 5
(d) Considerações Ambientais
Supondo que a ilha só suporta até 5000 coelhos, precisamos encontrar o menor valor de
para que
com a taxa de crescimento original de 10%.
Usando a fórmula explícita:
Dividindo ambos os lados por 1000:
Para resolver isso, vamos usar logaritmos:
Então:
Como
precisa ser inteiro, o menor valor é 17 anos.
Resposta
Após seguir os passos, concluímos que a população de coelhos excederá a capacidade de suporte da ilha após 17 anos com a taxa de crescimento anual de 10%.
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para
. Escolha a melhor ordem de derivação
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, para
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