Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência , em que representa a população no ano . O crescimento anual é de do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano .
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano .
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para ?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de ? (Em outras palavras, encontre para que .)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma ilha com 1000 coelhos inicialmente, e a cada ano a população cresce 10% em relação ao ano anterior. Isso faz a gente trabalhar com sequências recursivas e explícitas, que são formas de modelar o crescimento de uma população ao longo do tempo. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são fórmulas recursivas e como transformar isso numa fórmula que dá diretamente a população no ano que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício.

(a) Modelagem da Sequência

(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano .

Uma fórmula recursiva é aquela que define cada termo da sequência com base no termo anterior. Aqui, a cada ano, a população aumenta 10%, ou seja, multiplica por 1,10.
Então, a fórmula recursiva fica assim:
Com a condição inicial:

(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após 3 anos .

Vamos calcular passo a passo usando a fórmula recursiva.
  • Ano 0:
  • Ano 1:
  • Ano 2:
  • Ano 3:

Passo 3

(b) Comportamento a Longo Prazo

(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano .

Uma fórmula explícita permite calcular diretamente qualquer termo da sequência sem precisar calcular todos os anteriores. Como estamos lidando com crescimento percentual constante, estamos diante de uma progressão geométrica.
A fórmula geral para uma progressão geométrica é:
Onde:
  • é a população inicial.
  • é a razão de crescimento (10% a mais a cada ano).
Então, a fórmula explícita fica:

(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .

Vamos substituir na fórmula:
Calculando :
Então:
A população após 10 anos será aproximadamente 2594 coelhos.

Passo 4

© Análise de Variação de Parâmetros

(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para ?

Se a taxa de crescimento passa de 10% para 8%, a razão da progressão geométrica muda de para .
Então, a nova fórmula explícita fica:

(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.

Usando a nova fórmula com :
Calculando :
Então:
A população após 10 anos será aproximadamente 2159 coelhos com a taxa de 8%.

Passo 5

(d) Considerações Ambientais

Supondo que a ilha só suporta até 5000 coelhos, precisamos encontrar o menor valor de para que com a taxa de crescimento original de 10%.
Usando a fórmula explícita:
Dividindo ambos os lados por 1000:
Para resolver isso, vamos usar logaritmos:
Então:
Como precisa ser inteiro, o menor valor é 17 anos.

Resposta

Após seguir os passos, concluímos que a população de coelhos excederá a capacidade de suporte da ilha após 17 anos com a taxa de crescimento anual de 10%.

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