Calcule o gradiente de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função . Isso envolve assuntos de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais e vetores gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial nos diz como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante. Neste caso:
Usando a regra da cadeia, sabemos que a derivada de em relação a é multiplicada pela derivada de em relação a . Aqui, , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e . Portanto:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O gradiente da função é:

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Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
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