Calcule o gradiente de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função
. Isso envolve assuntos de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais e vetores gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial nos diz como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante. Neste caso:
Usando a regra da cadeia, sabemos que a derivada de
em relação a
é
multiplicada pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e
. Portanto:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O gradiente da função
é:
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