Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um número inteiro qualquer e precisamos mostrar que, em cada terna de três números consecutivos, exatamente um deles é divisível por 3.
Conteúdo da matéria: Vamos usar propriedades da divisibilidade por 3 e entender como os números inteiros se comportam em relação ao módulo 3.

Passo 2

Primeiro, lembramos que qualquer número inteiro pode ser escrito na forma , ou , onde é um inteiro. Isso significa que, ao dividir por 3, o resto pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 3

Considere três números consecutivos: , e . Vamos analisar cada caso possível para o valor de em relação ao módulo 3.

Passo 4

Caso 1: Se , então:
  • (divisível por 3),
  • (resto 1),
  • (resto 2).
Aqui, apenas é divisível por 3.

Passo 5

Caso 2: Se , então:
  • (resto 1),
  • (resto 2),
  • (divisível por 3).
Aqui, apenas é divisível por 3.

Passo 6

Caso 3: Se , então:
  • (resto 2),
  • (divisível por 3),
  • (resto 1).
Aqui, apenas é divisível por 3.

Resposta

Em qualquer terna de três números consecutivos, exatamente um número é divisível por 3.

Exercícios relacionados

A soma dos quocientes na divisão euclidiana de dois números D e por um número , é sempre igual ao quociente da divisão de por d ? Se não for igual de quanto difere?
Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma ou com . Os números da forma são chamados pares e os da forma são chamados ímpares. Mostre que:
Calcule o gradiente de
Calcule o gradiente de