Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente antiderivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas que facilitam a integração de potências de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando essa identidade para
, temos:
Isso facilita a nossa vida porque agora temos a função dividida em termos mais simples para integrar.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A antiderivada de
em relação a
é
. Então, aplicando isso aos dois termos que obtivemos:
Que pode ser escrito como:
Passo 4
Vamos agora integrar cada termo:
- Para
:
- Para
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo essas antiderivadas de volta na expressão original:
Vamos simplificar os coeficientes:
Resposta
A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração.
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Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
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