Encontre as antiderivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente antiderivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas que facilitam a integração de potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando essa identidade para , temos:
Isso facilita a nossa vida porque agora temos a função dividida em termos mais simples para integrar.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A antiderivada de em relação a é . Então, aplicando isso aos dois termos que obtivemos:
Que pode ser escrito como:

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo essas antiderivadas de volta na expressão original:
Vamos simplificar os coeficientes:

Resposta

A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração.

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