Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as antiderivadas da função . Isso significa que precisamos descobrir uma função cuja derivada seja igual a . Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais em somas de frações mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Temos:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar os termos:
Passo 4
Vamos organizar os termos por potências de :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais de ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Como e , então .
De , temos .
Finalmente, de e , temos .
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial, temos: