Encontre as antiderivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as antiderivadas da função . Isso significa que precisamos descobrir uma função cuja derivada seja igual a . Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais em somas de frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Temos:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar os termos:

Passo 4

Vamos organizar os termos por potências de :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais de ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Como e , então .
  3. De , temos .
  4. Finalmente, de e , temos .

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos lembrar que:
  • A integral de é .
  • A integral de é . No nosso caso, , pois .

Passo 8

Aplicando as integrais:
Portanto:

Resposta

A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração.

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