Calcule o gradiente de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, . O que precisamos fazer aqui é calcular o gradiente dessa função. O gradiente é uma ferramenta da cálculo multivariável que nos mostra como a função muda em cada direção. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Matematicamente, é representado como:
Então, nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Como é tratado como uma constante em relação a , a derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . O termo é constante em relação a . Para derivar , usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos as duas derivadas parciais, podemos montar o gradiente da função . Como mencionado antes:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

O gradiente da função é:

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