Calcule o gradiente de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
. O que precisamos fazer aqui é calcular o gradiente dessa função. O gradiente é uma ferramenta da cálculo multivariável que nos mostra como a função muda em cada direção. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
. Matematicamente, é representado como:
Então, nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Como
é tratado como uma constante em relação a
, a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. O termo
é constante em relação a
. Para derivar
, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as duas derivadas parciais, podemos montar o gradiente da função
. Como mencionado antes:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
O gradiente da função
é:
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Calcule o gradiente de
Encontre as antiderivadas das seguintes funções: