Calcule o gradiente de ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que mostra como a função muda em todas as direções no ponto considerado. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . A função é uma raiz quadrada, então usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Aqui, , e a derivada de em relação a é 1.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Aqui, , mas a derivada de em relação a é , porque temos .
Então:

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que combina essas derivadas:

Resposta

O gradiente de é:

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Seja . Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de em relação a e a .
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: ; .