Calcule o gradiente de
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que mostra como a função muda em todas as direções no ponto considerado. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. A função
é uma raiz quadrada, então usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, e a derivada de
em relação a
é 1.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, mas a derivada de
em relação a
é
, porque temos
.
Então:
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que combina essas derivadas:
Resposta
O gradiente de
é:
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Seja
. Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de
em relação a
e a
.
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
;
.