Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que vão até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender como determinar a convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Para isso, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. A função tem o numerador crescendo, mas o denominador cresce mais rápido, já que cresce mais rápido que . Isso sugere que a integral pode convergir, mas vamos proceder com a integração para confirmar.

Passo 3

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e . Assim, precisamos calcular e :
  • (derivada de )

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante :
Portanto, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 1 até :
Primeiro, calculamos o limite quando tende ao infinito:
  • cresce para , mas dividido por , que cresce mais rápido, o termo tende a 0.
  • O termo também tende a 0.
Então, o limite é:
Agora, avaliamos em :
Portanto:

Resposta

A integral converge e o valor final é .

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