Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem:
integral1^+infty ln xx^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
integral1^+infty ln xx^3 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que vão até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender como determinar a convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Para isso, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. A função tem o numerador crescendo, mas o denominador cresce mais rápido, já que cresce mais rápido que . Isso sugere que a integral pode convergir, mas vamos proceder com a integração para confirmar.

Passo 3

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos e . Assim, precisamos calcular e :
  • (derivada de )

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln xx^3 , dx = uv - integral v , du = ln x ( -12x^2 ) - integral ( -12x^2 ) cdot 1x , dx
Simplificando:
= -ln x2x^2 + 12 integral 1x^3 , dx

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante integral 1x^3 , dx = x^-2-2 = -12x^2 :
-ln x2x^2 + 12 ( -12x^2 ) = -ln x2x^2 - 14x^2
Portanto, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 1 até [ -ln x2x^2 - 14x^2 ]1^+infty :
0 - 0 = 0
Primeiro, calculamos o limite quando -0 - 14 cdot 1^2 = -14 tende ao infinito:
  • cresce para , mas dividido por , que cresce mais rápido, o termo tende a 0.
  • O termo também tende a 0.
Então, o limite é:
Agora, avaliamos em :
Portanto:

Resposta

A integral converge e o valor final é .

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