Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que vão até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender como determinar a convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Para isso, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. A função
tem o numerador
crescendo, mas o denominador cresce mais rápido, já que
cresce mais rápido que
. Isso sugere que a integral pode convergir, mas vamos proceder com a integração para confirmar.
Passo 3
Vamos resolver a integral usando integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
Escolhemos
e
. Assim, precisamos calcular
e
:
-
(derivada de ) -
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral restante
:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral definida de 1 até
:
Primeiro, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
-
cresce para , mas dividido por , que cresce mais rápido, o termo tende a 0. - O termo
também tende a 0.
Então, o limite é:
Agora, avaliamos em
:
Portanto:
Resposta
A integral converge e o valor final é
.
Exercícios relacionados
Encontre
, sendo
e
.
Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem:
Calcule o gradiente de
,