Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
;
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para encontrar a derivada parcial primeira da função
em relação a
, ou seja, calcular
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável significa que tratamos as outras variáveis como constantes. No nosso caso,
será considerada constante enquanto derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora, observamos a função
. Para derivar essa função em relação a
, precisamos aplicar a regra do produto, já que temos o produto de duas funções:
e
.
Passo 4
A regra do produto nos diz que se temos uma função
multiplicada por
, então a derivada em relação a
é:
Aplicando isso à nossa função, identificamos:
Passo 5
Vamos então calcular as derivadas individuais:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 7
Simplificando os termos:
Podemos fatorar
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de
em relação a
e a
.
Calcule o gradiente de
,
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
.
Defina sen
onde
. Mostre que