Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: w(theta, phi)=e^-theta cos (theta+phi); partial wpartial theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para encontrar a derivada parcial primeira da função em relação a , ou seja, calcular . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável significa que tratamos as outras variáveis como constantes. No nosso caso, será considerada constante enquanto derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, observamos a função . Para derivar essa função em relação a , precisamos aplicar a regra do produto, já que temos o produto de duas funções: e .

Passo 4

A regra do produto nos diz que se temos uma função ddtheta[u(theta) v(theta)] = u'(theta) v(theta) + u(theta) v'(theta) multiplicada por u(theta) = e^-theta e v(theta) = cos (theta+phi) , então a derivada em relação a é:
Aplicando isso à nossa função, identificamos:

Passo 5

Vamos então calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada de u'(theta) = -e^-theta :
v'(theta) = -sin (theta+phi) cdot ddtheta(theta+phi) = -sin (theta+phi) cdot 1 = -sin (theta+phi)
  1. Derivada de :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:
partial wpartial theta = u'(theta) v(theta) + u(theta) v'(theta) = (-e^-theta) cos (theta+phi) + e^-theta (-sin (theta+phi))

Passo 7

Simplificando os termos:
partial wpartial theta = -e^-theta cos (theta+phi) - e^-theta sin (theta+phi)
Podemos fatorar partial wpartial theta = -e^-theta [cos (theta+phi) + sin (theta+phi)] :

Resposta

A derivada parcial de partial wpartial theta = -e^-theta [ cos (theta+phi) + sin (theta+phi) ] em relação a é:

Exercícios relacionados