Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: ; .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para encontrar a derivada parcial primeira da função em relação a , ou seja, calcular . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável significa que tratamos as outras variáveis como constantes. No nosso caso, será considerada constante enquanto derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, observamos a função . Para derivar essa função em relação a , precisamos aplicar a regra do produto, já que temos o produto de duas funções: e .

Passo 4

A regra do produto nos diz que se temos uma função multiplicada por , então a derivada em relação a é:
Aplicando isso à nossa função, identificamos:

Passo 5

Vamos então calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 7

Simplificando os termos:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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Seja . Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de em relação a e a .
Calcule o gradiente de ,
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: .
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