Seja . Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de em relação a e a .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O enunciado nos pede para encontrar todas as derivadas parciais primeiras e segundas da função em relação a e . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, derivamos cada termo da função em relação a .
  • Para o termo , tratamos como constante em relação a . A derivada de é , então temos:
  • Para o termo , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . A derivada de em relação a é , então:
Portanto, juntando os dois resultados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
  • Para o termo , tratamos como constante em relação a . A derivada de é , então:
  • Para o termo , novamente usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . A derivada de em relação a é , então:
Portanto, juntando os dois resultados:

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar novamente em relação a .
A derivada que encontramos anteriormente foi:
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é , onde . Então:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada mista, primeiro em relação a e depois a , ou seja, .
Começamos com a primeira derivada em relação a :
Derivando essa expressão em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Usamos a regra do produto e da cadeia:
Portanto:

Passo 6

Vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A primeira derivada em relação a foi:
Derivando essa expressão em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Usamos a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a segunda derivada mista, primeiro em relação a e depois a , ou seja, .
Começamos com a primeira derivada em relação a :
Derivando essa expressão em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Usamos a regra do produto e da cadeia:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais primeiras e segundas de são:

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Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem:
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: ; .
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções: .