Seja
. Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de
em relação a
e a
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O enunciado nos pede para encontrar todas as derivadas parciais primeiras e segundas da função
em relação a
e
. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, derivamos cada termo da função em relação a
.
-
Para o termo
, tratamos como constante em relação a . A derivada de é , então temos: -
Para o termo
, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . A derivada de em relação a é , então:
Portanto, juntando os dois resultados:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
-
Para o termo
, tratamos como constante em relação a . A derivada de é , então: -
Para o termo
, novamente usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . A derivada de em relação a é , então:
Portanto, juntando os dois resultados:
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
novamente em relação a
.
A derivada que encontramos anteriormente foi:
Derivando cada termo:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada deé , onde . Então:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada mista, primeiro em relação a
e depois a
, ou seja,
.
Começamos com a primeira derivada em relação a
:
Derivando essa expressão em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Usamos a regra do produto e da cadeia:
Portanto:
Passo 6
Vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A primeira derivada em relação a
foi:
Derivando essa expressão em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Usamos a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a segunda derivada mista, primeiro em relação a
e depois a
, ou seja,
.
Começamos com a primeira derivada em relação a
:
Derivando essa expressão em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Usamos a regra do produto e da cadeia:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais primeiras e segundas de
são:
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente de
,
Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem:
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
;
.
Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
.