Seja phi(x, y) = x^5 * e^y + cos(x * y). Encontre todas as derivadas parciais primeiras e segundas de phi em relação a x e a y.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O enunciado nos pede para encontrar todas as derivadas parciais primeiras e segundas da função em relação a x e y. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de phi em relação a x, ou seja, . Para isso, derivamos cada termo da função em relação a x.
  • Para o termo , tratamos e^y como constante em relação a x. A derivada de x^5 é , então temos:
  • Para o termo , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . A derivada de x y em relação a x é y, então:
Portanto, juntando os dois resultados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de phi em relação a y, ou seja, .
  • Para o termo , tratamos x^5 como constante em relação a y. A derivada de e^y é e^y, então:
  • Para o termo , novamente usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . A derivada de x y em relação a y é x, então:
Portanto, juntando os dois resultados:

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de phi em relação a x, ou seja, . Isso significa derivar novamente em relação a x.
A derivada que encontramos anteriormente foi:
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a x:
  • Derivada de em relação a x:
    Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é , onde . Então:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada mista, primeiro em relação a x e depois a y, ou seja, .
Começamos com a primeira derivada em relação a x:
Derivando essa expressão em relação a y:
  • Derivada de em relação a y:
  • Derivada de em relação a y:
    Usamos a regra do produto e da cadeia:
Portanto:

Passo 6

Vamos encontrar a segunda derivada parcial de phi em relação a y, ou seja, .
A primeira derivada em relação a y foi:
Derivando essa expressão em relação a y:
  • Derivada de em relação a y:
  • Derivada de em relação a y:
    Usamos a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a segunda derivada mista, primeiro em relação a y e depois a x, ou seja, .
Começamos com a primeira derivada em relação a y:
Derivando essa expressão em relação a x:
  • Derivada de em relação a x:
  • Derivada de em relação a x:
    Usamos a regra do produto e da cadeia:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais primeiras e segundas de são:

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