Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem:
integral0^1 d xx raiz25 x^2+16

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa integral imprópria:
integral0^1 dxx raiz25 x^2+16
Aqui, a matéria que vamos mexer é Cálculo Integral, especificamente Integrais Impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que torna essa integral imprópria e verificar se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é chamada de imprópria. Olhando para o integrando:
1x raiz25 x^2+16
Vemos que quando se aproxima de 0, o denominador tende a zero, o que pode causar uma divisão por zero. Isso significa que a integral pode ter um comportamento assintótico no limite inferior (quando tende a 0).

Passo 3

Para verificar a convergência da integral, precisamos analisar o comportamento do integrando próximo de raiz25x^2 + 16 approx raiz16 = 4 . Vamos simplificar a expressão para ver como ela se comporta:
Quando 1x cdot 4 = 14x é muito pequeno, é bem menor que 16, então:
Assim, para próximo de 0, o integrando se aproxima de:

Passo 4

Agora, vamos considerar a integral aproximada:
integral0^1 14x dx = 14 integral0^1 1x dx
A integral de integral0^1 1x dx = lima to 0^+ integrala^1 1x dx = lima to 0^+ [ln|x|]a^1 = lima to 0^+ (ln 1 - ln a) = infty de 0 a 1 é:
Isso significa que a integral diverge para o infinito.

Resposta

A integral imprópria
integral0^1 dxx raiz25 x^2+16
é divergente.

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