Calcule o gradiente das funções dadas:

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício: precisamos calcular o gradiente da função . Isso pertence à matéria de cálculo multivariável, especificamente ao estudo de derivadas parciais e gradientes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que denotamos por . Isso significa que tratamos e como constantes e derivamos apenas em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (usando a regra do poder).
  • Derivada de em relação a é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Aqui, tratamos e como constantes.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (já que não contém ).
Então:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Aqui, tratamos e como constantes.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (já que não contém ).
  • Derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

Portanto, o gradiente da função é dado por:

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Calcule , sendo .