Calcule o gradiente das funções dadas:
Passo 1
Então, temos o seguinte exercício: precisamos calcular o gradiente da função
. Isso pertence à matéria de cálculo multivariável, especificamente ao estudo de derivadas parciais e gradientes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
. Isso significa que tratamos
e
como constantes e derivamos apenas em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (usando a regra do poder). - Derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (já que não contém ).
Então:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (já que não contém ). - Derivada de
em relação a é .
Então:
Resposta
Portanto, o gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente das funções dadas:
Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.
Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:
Calcule
, sendo
.