Calcule o gradiente das funções dadas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular o gradiente da função dada
. O gradiente é uma ferramenta do cálculo que nos mostra a direção de maior aumento da função e é representado por um vetor com as derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 2
Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e a
. Isso significa que vamos derivar a função tratando uma das variáveis como constante enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, ao derivar
em relação a
, tratamos
como constante, resultando em
. Da mesma forma, derivando
em relação a
, obtemos
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, ao derivar
em relação a
, tratamos
como constante, resultando em
. Derivando
em relação a
, obtemos
.
Resposta
Portanto, o gradiente da função
é:
Exercícios relacionados
Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.
Calcule o gradiente das funções dadas:
Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial: