Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo Vetorial aqui. Precisamos calcular o rotacional e a divergente do campo vetorial dado:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o rotacional e a divergente de um campo vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional, também conhecido como curl, nos dá uma medida da “giração” do campo vetorial naquele ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos identificar as componentes de :
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergente de . A divergente nos indica se o campo está “saindo” ou “entrando” de um ponto. A fórmula para a divergente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. (porque não depende de )
  2. (porque não depende de )
  3. (porque não depende de )
Somando tudo:

Resposta

O rotacional de é o vetor nulo, ou seja,
E a divergente de é

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Calcule , sendo .
Represente geometricamente o campo vetorial dado: