Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo Vetorial aqui. Precisamos calcular o rotacional e a divergente do campo vetorial dado:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o rotacional e a divergente de um campo vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional, também conhecido como curl, nos dá uma medida da “giração” do campo vetorial naquele ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergente de
. A divergente nos indica se o campo está “saindo” ou “entrando” de um ponto. A fórmula para a divergente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
(porque não depende de ) -
(porque não depende de ) -
(porque não depende de )
Somando tudo:
Resposta
O rotacional de
é o vetor nulo, ou seja,
E a divergente de
é
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Calcule
, sendo
.
Represente geometricamente o campo vetorial dado: