Seja a transformação . Desenhe o conjunto onde .

Passo 1

Entendendo o problema e o que precisamos fazer
Então, temos essa transformação matemática que é definida por . O conjunto é todo ponto no plano onde , o que basicamente descreve um círculo unitário no sistema de coordenadas polares. Nosso objetivo aqui é aplicar essa transformação a todos os pontos desse círculo e desenhar o resultado, ou seja, descobrir como fica o conjunto .

Passo 2

Aplicando a transformação aos pontos de
Primeiro, vamos entender o que significa aplicar a um ponto qualquer de . Como para todo ponto em , substituímos na transformação:
Então, cada ponto no conjunto tem coordenadas , onde varia de a .

Passo 3

Interpretando a nova forma das coordenadas
Agora, vamos analisar que tipo de forma geométrica esses pontos representam no plano cartesiano. Podemos relacionar isso com a equação padrão da elipse. Sabemos que a equação paramétrica de uma elipse é dada por:
Comparando com o nosso caso, vemos que e . Isso indica que é uma elipse com semieixos de comprimento ao longo do eixo e ao longo do eixo .

Passo 4

Escrevendo a equação da elipse resultante
Para confirmar, podemos transformar as coordenadas paramétricas de volta para a forma cartesiana. A partir de , isolamos as funções trigonométricas:
Sabemos que , então substituímos:
Essa é precisamente a equação de uma elipse com os parâmetros que mencionamos.

Resposta

O conjunto é uma elipse definida pela equação .

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Seja a transformação , onde e . Desenhe: O conjunto onde .
Calcule , sendo e .
Calcule o gradiente das funções dadas:
Calcule o gradiente das funções dadas: