Seja a transformação phi(rho, theta) = (2 * rho * cos(theta), rho * sin(theta)). Desenhe o conjunto phi(B) onde B = { (rho, theta) em R^2 ; rho = 1 }.

Passo 1

Entendendo o problema e o que precisamos fazer
Então, temos essa transformação matemática que é definida por . O conjunto B é todo ponto no plano onde , o que basicamente descreve um círculo unitário no sistema de coordenadas polares. Nosso objetivo aqui é aplicar essa transformação a todos os pontos desse círculo e desenhar o resultado, ou seja, descobrir como fica o conjunto phi(B).

Passo 2

Aplicando a transformação aos pontos de B
Primeiro, vamos entender o que significa aplicar phi a um ponto qualquer de B. Como para todo ponto em B, substituímos na transformação:
Então, cada ponto no conjunto phi(B) tem coordenadas , onde theta varia de 0 a .

Passo 3

Interpretando a nova forma das coordenadas
Agora, vamos analisar que tipo de forma geométrica esses pontos representam no plano cartesiano. Podemos relacionar isso com a equação padrão da elipse. Sabemos que a equação paramétrica de uma elipse é dada por:
Comparando com o nosso caso, vemos que e . Isso indica que phi(B) é uma elipse com semieixos de comprimento ao longo do eixo x e 1 ao longo do eixo y.

Passo 4

Escrevendo a equação da elipse resultante
Para confirmar, podemos transformar as coordenadas paramétricas de volta para a forma cartesiana. A partir de , isolamos as funções trigonométricas:
Sabemos que , então substituímos:
Essa é precisamente a equação de uma elipse com os parâmetros que mencionamos.

Resposta

O conjunto phi(B) é uma elipse definida pela equação .

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