Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.
Passo 1
Entendendo o problema e o que precisamos fazer
Então, temos essa transformação matemática que é definida por
. O conjunto
é todo ponto no plano onde
, o que basicamente descreve um círculo unitário no sistema de coordenadas polares. Nosso objetivo aqui é aplicar essa transformação a todos os pontos desse círculo e desenhar o resultado, ou seja, descobrir como fica o conjunto
.
Passo 2
Aplicando a transformação aos pontos de
Primeiro, vamos entender o que significa aplicar
a um ponto qualquer de
. Como
para todo ponto em
, substituímos na transformação:
Então, cada ponto no conjunto
tem coordenadas
, onde
varia de
a
.
Passo 3
Interpretando a nova forma das coordenadas
Agora, vamos analisar que tipo de forma geométrica esses pontos
representam no plano cartesiano. Podemos relacionar isso com a equação padrão da elipse. Sabemos que a equação paramétrica de uma elipse é dada por:
Comparando com o nosso caso, vemos que
e
. Isso indica que
é uma elipse com semieixos de comprimento
ao longo do eixo
e
ao longo do eixo
.
Passo 4
Escrevendo a equação da elipse resultante
Para confirmar, podemos transformar as coordenadas paramétricas de volta para a forma cartesiana. A partir de
, isolamos as funções trigonométricas:
Sabemos que
, então substituímos:
Essa é precisamente a equação de uma elipse com os parâmetros que mencionamos.
Resposta
O conjunto
é uma elipse definida pela equação
.
Exercícios relacionados
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.
Calcule
, sendo
e
.
Calcule o gradiente das funções dadas:
Calcule o gradiente das funções dadas: