Calcule , sendo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como montar os limites de integração e calcular a integral em duas etapas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está no plano onde varia de 0 a 1, e para cada , varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre essa área específica. Imagino que você já deve ter visto graficamente que é uma parábola e é uma reta.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. Como varia de 0 a 1, e para cada , vai de a , a integral fica:
Primeiro integramos em relação a , depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em termos de :
A antiderivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado em relação a :
Podemos separar a integral:

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
Para , a antiderivada é .
Para , a antiderivada é .
Então:

Passo 7

Vamos simplificar a diferença:

Resposta

A integral dupla vale .

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