Calcule integral duplaB y d x d y, sendo B=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaB y , dx , dy, onde a região B é definida por 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= x. Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como montar os limites de integração e calcular a integral em duas etapas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. Ela está no plano (x, y) onde x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de x^2 até x. Isso significa que estamos integrando y sobre essa área específica. Imagino que você já deve ter visto graficamente que y = x^2 é uma parábola e y = x é uma reta.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. Como x varia de 0 a 1, e para cada x, y vai de x^2 a x, a integral fica:
integral0^1 integralx^2^x y , dy , dx
Primeiro integramos em relação a y, depois em relação a x.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em termos de y:
integralx^2^x y , dy
A antiderivada de y em relação a y é 12y^2. Então:
12y^2 |x^2^x = 12x^2 - 12(x^2)^2 = 12x^2 - 12x^4

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado em relação a x:
integral0^1 ( 12x^2 - 12x^4 ) dx
Podemos separar a integral:
12 integral0^1 x^2 , dx - 12 integral0^1 x^4 , dx

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
Para integral x^2 , dx, a antiderivada é 13x^3.
Para integral x^4 , dx, a antiderivada é 15x^5.
Então:
12 ( 13x^3 |0^1 ) - 12 ( 15x^5 |0^1 ) = 12 ( 13 ) - 12 ( 15 ) = 16 - 110

Passo 7

Vamos simplificar a diferença:
16 - 110 = 530 - 330 = 230 = 115

Resposta

A integral dupla vale 115.

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