Calcule o gradiente das funções dadas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular o gradiente dessa função. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender a definição de gradiente.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, usamos a derivada de
e aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. A função
tem derivada em relação a
igual a
:
Passo 5
Por último, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente das funções dadas:
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.
Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:
Considere a transformação
, dada por
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.