Calcule o gradiente das funções dadas:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e precisamos calcular o gradiente dessa função. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender a definição de gradiente.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a . Novamente, usamos a derivada de e aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a . A função tem derivada em relação a igual a :

Passo 5

Por último, calculamos a derivada parcial de em relação a . A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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Calcule o gradiente das funções dadas:
Seja a transformação , onde e . Desenhe: O conjunto onde .
Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:
Considere a transformação , dada por e . Desenhe: O conjunto onde .