Seja a transformação f(u, v) = (x, y, z), onde x = u cos v, y = u sen v e z = u. Desenhe: O conjunto f(B) onde B = {(u, v) em R^2 ; v = pi/2}.

Passo 1

Vamos lá! Você me deu uma transformação onde , e . O exercício pede para desenhar o conjunto , onde . Vamos usar conceitos de geometria analítica e transformações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . Ele é formado por todos os pares onde é fixo em e pode ser qualquer número real. Ou seja, é uma linha horizontal no plano onde .

Passo 3

Agora, aplicamos a transformação nos pontos de . Isso significa substituir por nas expressões de , e :

Passo 4

Calculamos os valores trigonométricos:
Então, as equações ficam:

Passo 5

Isso simplifica para:
Aqui, é qualquer número real. Então, podemos expressar e em termos de :

Passo 6

Portanto, o conjunto consiste em todos os pontos onde e . Isso descreve uma linha no espaço tridimensional que passa pela origem e segue a direção onde e são iguais, mantendo sempre igual a zero.

Resposta

O conjunto é a linha no espaço 3D onde e .

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