Considere a transformação varphi(u, v) = (x, y), dada por x = u + v e y = u - v. Desenhe: O conjunto phi(B) onde B = {(u, v) em R^2 ; u^2 + v^2 <= 4}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação com e . Nosso objetivo é desenhar o conjunto , onde é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem . Basicamente, estamos lidando com transformação de coordenadas e geometria analítica para entender como o conjunto se transforma em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . A equação representa todos os pontos dentro (e na fronteira) de um círculo com raio 2 e centro na origem no plano . Então, é um disco de raio 2.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação . Temos que e . Para achar como o conjunto fica no plano , precisamos expressar a condição em termos de e .

Passo 4

Vamos resolver as expressões para e em função de e . Adicionando as equações:
Subtraindo as equações:

Passo 5

Agora, substituímos e na equação :
Explicando, estamos substituindo as coordenadas originais e pelas novas coordenadas e .

Passo 6

Vamos simplificar a inequação:
Expandindo os quadrados:
Dividindo por 2:

Passo 7

Então, a inequação final no plano é , que representa todos os pontos dentro (e na fronteira) de um círculo com raio e centro na origem .

Resposta

O conjunto é o disco no plano definido por , ou seja, todas as pontos cuja distância da origem é no máximo .

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