Considere a transformação
, dada por
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação
com
e
. Nosso objetivo é desenhar o conjunto
, onde
é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem
. Basicamente, estamos lidando com transformação de coordenadas e geometria analítica para entender como o conjunto
se transforma em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. A equação
representa todos os pontos dentro (e na fronteira) de um círculo com raio 2 e centro na origem
no plano
. Então,
é um disco de raio 2.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação
. Temos que
e
. Para achar como o conjunto
fica no plano
, precisamos expressar a condição
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos resolver as expressões para
e
em função de
e
. Adicionando as equações:
Subtraindo as equações:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação
:
Explicando, estamos substituindo as coordenadas originais
e
pelas novas coordenadas
e
.
Passo 6
Vamos simplificar a inequação:
Expandindo os quadrados:
Dividindo por 2:
Passo 7
Então, a inequação final no plano
é
, que representa todos os pontos dentro (e na fronteira) de um círculo com raio
e centro na origem
.
Resposta
O conjunto
é o disco no plano
definido por
, ou seja, todas as pontos cuja distância da origem é no máximo
.
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