Calcule o gradiente das funções dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função dada, que é . Gradiente é tipo uma seta que mostra a direção em que a função cresce mais rápido, e para encontrá-lo, a gente precisa calcular as derivadas parciais em relação a cada variável, ou seja, em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia porque temos uma função composta (seno de outra função).
A regra da cadeia diz que, se onde , então a derivada de em relação a é:
Vamos aplicar isso:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de em relação a é (porque a derivada de é e a derivada de em relação a é 0).
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Novamente, usamos a regra da cadeia.
Aplicando a mesma lógica:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de em relação a é (porque a derivada de em relação a é 0 e a derivada de é 3).
Então,

Resposta

O gradiente da função é o vetor que junta as derivadas parciais que calculamos:

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