Calcule o gradiente das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função dada, que é
. Gradiente é tipo uma seta que mostra a direção em que a função cresce mais rápido, e para encontrá-lo, a gente precisa calcular as derivadas parciais em relação a cada variável, ou seja, em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia porque temos uma função composta (seno de outra função).
A regra da cadeia diz que, se
onde
, então a derivada de
em relação a
é:
Vamos aplicar isso:
- Derivada de
é . - Derivada de
em relação a é (porque a derivada de é e a derivada de em relação a é 0).
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, usamos a regra da cadeia.
Aplicando a mesma lógica:
- Derivada de
é . - Derivada de
em relação a é (porque a derivada de em relação a é 0 e a derivada de é 3).
Então,
Resposta
O gradiente da função
é o vetor que junta as derivadas parciais que calculamos: