Calcule o gradiente das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que mostra a direção e a taxa de variação mais rápida da função. Para isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e os outros termos não dependem de
, então suas derivadas são zero.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, o que dá
. Os demais termos são constantes em relação a
, então suas derivadas são zero.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é 1, e os outros termos não dependem de
, então suas derivadas são zero.
Passo 5
Por último, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, resultando em
. Os demais termos são constantes em relação a
, então suas derivadas são zero.
Resposta
Juntando todas as derivadas parciais que calculamos, o gradiente da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente das funções dadas:
Considere a transformação
, dada por
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.
Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:
Calcule o Laplaciano de cada função: