Calcule o Laplaciano de cada função:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o Laplaciano da função . O Laplaciano é uma operação matemática que envolve derivadas de segunda ordem e é muito útil em diversas áreas como física e engenharia. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do Laplaciano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Laplaciano de uma função escalar é dado por:
Ou seja, somamos as segundas derivadas parciais em relação a e . Nosso objetivo é aplicar essa fórmula à função .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada da exponencial.

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a :
Simplificamos os termos:

Passo 5

De maneira semelhante, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do Laplaciano somando as duas segundas derivadas:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O Laplaciano da função é:
Ou simplificando:

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Calcule o Laplaciano de cada função:
Calcule , sendo e .