Calcule o Laplaciano de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano é uma operação matemática que envolve derivadas de segunda ordem e é muito útil em diversas áreas como física e engenharia. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do Laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Laplaciano de uma função escalar
é dado por:
Ou seja, somamos as segundas derivadas parciais em relação a
e
. Nosso objetivo é aplicar essa fórmula à função
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada da exponencial.
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Simplificamos os termos:
Passo 5
De maneira semelhante, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do Laplaciano somando as duas segundas derivadas:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O Laplaciano da função
é:
Ou simplificando:
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Calcule o Laplaciano de cada função:
Calcule
, sendo
e
.