Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial específico: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas do rotacional e do divergente e entender como aplicá-las a campos vetoriais de duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional. No contexto de campos vetoriais em duas dimensões, o rotacional (ou curl) de um campo é definido como:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo “gira” em torno de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo . Aqui:
Porque não há componente no campo dado.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional usando as componentes identificadas:
Como , então . E:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos para o divergente do campo. A fórmula para o divergente de é:
Novamente, com , temos . E:
Logo:

Resposta

O rotacional do campo vetorial é e o divergente é .

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