Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A gente vai precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vou te mostrar passo a passo como encontrar a solução dessa equação usando as condições iniciais que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que a gente tem:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente começa formando a equação característica. Substituímos por , por , e por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Calculamos o discriminante ():
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais:
Primeiro, calculamos :
Agora, vamos encontrar a derivada :
E aplicamos a condição :
Passo 7
Temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, isolamos :
Substituímos isso na primeira equação:
Então,
Passo 8
Agora que temos os valores de e , substituímos na solução geral: