(1,5 pontos) Resolva o PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A gente vai precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vou te mostrar passo a passo como encontrar a solução dessa equação usando as condições iniciais que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que a gente tem:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente começa formando a equação característica. Substituímos por , por , e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Calculamos o discriminante ( ):
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais:
Primeiro, calculamos :
Agora, vamos encontrar a derivada :
E aplicamos a condição :

Passo 7

Temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, isolamos :
Substituímos isso na primeira equação:
Então,

Passo 8

Agora que temos os valores de e , substituímos na solução geral:

Resposta

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Resolva as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
(a) .
(1,5 pontos) Encontre todas as funções que tornam a EDO
(1)
exata em . Para as funções encontradas, encontre as soluções de (1).
Seja a transformação , onde e . Desenhe: O conjunto onde .
Calcule o gradiente das funções dadas: