Calcule o gradiente das funçōes darlas:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o gradiente da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, e o gradiente é uma ferramenta que nos dá a direção de maior crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma de suas variáveis. No nosso caso, como a função tem três variáveis (
,
,
), o gradiente será um vetor com três componentes.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função é
. Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é simplesmente
porque a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando o mesmo raciocínio, ao derivar
em relação a
, obtemos novamente
, já que a derivada de
em relação a
também é 1.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Da mesma forma que antes, a derivada de
em relação a
é
.
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente das funçōes darlas:
b)
b)
Use o teste da integral e mostre que a série
converge se
e diverge se
. (Não se esqueça de verificar as hipóteses do teste da integral)