Use o teste da integral e mostre que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p>1 e diverge se p <= 1. (Não se esqueça de verificar as hipóteses do teste da integral)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste da integral para verificar se a série converge quando e diverge quando . Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da integral e como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral de uma função relacionada à série converge, então a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge. Para aplicar esse teste, a função precisa ser contínua, positiva e decrescente.

Passo 3

Nossa série é . Vamos considerar a função . Essa função é contínua, positiva e decrescente para e , então podemos aplicar o teste da integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integral1^infty 1x^p , dx de 1 até o infinito:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Para integral1^b 1x^p , dx = [ x^-(p-1)-(p-1) ]1^b = 1p-1 (1 - 1b^p-1) , a antiderivada de é . Avaliando de 1 até e depois fazendo tender ao infinito:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando tende ao infinito:
  • Se (ou seja, ), então , e a integral converge para .
  • Se (ou seja, ), então não tende a zero, e a integral diverge.

Passo 7

Pelo teste da integral:
  • Quando , a integral converge, então a série também converge.
  • Quando , a integral diverge, então a série também diverge.

Resposta

A série converge se e diverge se .

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