Use o teste da integral e mostre que a série
converge se
e diverge se
. (Não se esqueça de verificar as hipóteses do teste da integral)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste da integral para verificar se a série
converge quando
e diverge quando
. Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da integral e como aplicá-lo a essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral de uma função relacionada à série converge, então a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge. Para aplicar esse teste, a função precisa ser contínua, positiva e decrescente.
Passo 3
Nossa série é
. Vamos considerar a função
. Essa função é contínua, positiva e decrescente para
e
, então podemos aplicar o teste da integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de 1 até o infinito:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Para
, a antiderivada de
é
. Avaliando de 1 até
e depois fazendo
tender ao infinito:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
- Se
(ou seja, ), então , e a integral converge para . - Se
(ou seja, ), então não tende a zero, e a integral diverge.
Passo 7
Pelo teste da integral:
- Quando
, a integral converge, então a série também converge. - Quando
, a integral diverge, então a série também diverge.
Resposta
A série
converge se
e diverge se
.
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f)
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b)
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