Calcule o potencial elétrico de uma distribuição linear infinita (z in(-infty, infty)) de carga elétrica dada por densidade lambda0= const assumindo que em distancis r=r0, sendo r a cordenada radial cilíndrica, o potencial V(r0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial elétrico de uma distribuição linear infinita de carga. A gente vai precisar usar conceitos de campo elétrico e como relacioná-lo com o potencial elétrico. O problema nos dá uma densidade linear de carga constante, lambda0, e diz que o potencial em uma distância r0 é zero, ou seja, V(r0) = 0. Vamos descobrir como o potencial varia com a distância r.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como é o campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga. Para uma distribuição linear infinita com densidade lambda0, o campo elétrico E(r) a uma distância r do fio é dado por:
E(r) = lambda02pi varepsilon0 r
Aqui, varepsilon0 é a permissividade do vácuo. Esse campo elétrico aponta radialmente para fora (ou para dentro, dependendo do sinal de lambda0) do fio.

Passo 3

Agora, para encontrar o potencial elétrico V(r), a gente sabe que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(r) = -integralr0^r E(r') , dr'
Substituindo E(r') na integral:
V(r) = -integralr0^r lambda02pi varepsilon0 r' , dr'

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de 1r' em relação a r' é o logaritmo natural. Então:
V(r) = -lambda02pi varepsilon0 integralr0^r 1r' , dr' = -lambda02pi varepsilon0 [ ln(r) - ln(r0) ]
Simplificando usando as propriedades dos logaritmos:
V(r) = -lambda02pi varepsilon0 ln(rr0)

Resposta

O potencial elétrico em uma distância r da distribuição linear infinita de carga é:
V(r) = -lambda02pi varepsilon0 ln(rr0)

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