Quais das seguintes forças são conservativas? (a) F=k(x, 2 y, 3 z), onde k é uma constante. (b) F= k(y, x, 0) © F=k(-y, x, 0). Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial U correspondente e verifique por derivação direta que F=-nabla U.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você me passou pede para a gente identificar quais das forças listadas são conservativas. Além disso, para as forças que forem conservativas, precisamos encontrar a energia potencial correspondente e comprovar que a força é igual a menos o gradiente de , ou seja, .
Aqui, estamos lidando com o conceito de forças conservativas na física, que são aquelas forças onde o trabalho realizado não depende do caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especialmente o conceito de campo vetorial e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força F = -nabla U é dita conservativa se existe uma função escalar tal que:
Aqui, representa o gradiente de , que basicamente nos dá a direção de maior aumento de . Se a força puder ser expressa dessa forma, ela é conservativa.
Outra forma de verificar se uma força é conservativa é calcular o rotacional dessa força, ou seja, . Se o rotacional for zero ( ), então a força é conservativa.
Vamos aplicar esses conceitos a cada uma das forças fornecidas:

Passo 3

Parte (a): F = kx,i + 2ky,j + 3kz,k

Primeiro, vamos escrever a força de forma mais clara:
nabla times F = ( partialpartial y(3kz) - partialpartial z(2ky) )i - ( partialpartial x(3kz) - partialpartial z(kx) )j + ( partialpartial x(2ky) - partialpartial y(kx) )k
Agora, vamos calcular o rotacional de partialpartial y(3kz) = 0 :
partialpartial z(2ky) = 0
Calculando cada termo:
  • Para partialpartial x(3kz) = 0 :
    partialpartial z(kx) = 0
    partialpartial x(2ky) = 0
    Então, partialpartial y(kx) = 0 :
  • Para :
    Então, :
  • Para :
    Então, :
Como o rotacional de é zero, a força é conservativa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a energia potencial F = -nabla U correspondente. Sabemos que:
-partial Upartial x = kx
Então, podemos escrever:
-partial Upartial y = 2ky
-partial Upartial z = 3kz
-U = integral kx , dx = kx^22 + f(y, z)
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar U = -kx^22 + f(y, z) :
  1. Integrando em relação a -U = integral 2ky , dy = k y^2 + g(x, z) :
    U = -k y^2 + g(x, z)
    Assim,
    -U = integral 3kz , dz = 3kz^22 + h(x, y)
  2. Integrando em relação a U = -3k z^22 + h(x, y) :
    U = -kx^22 - ky^2 - 3kz^22 + C
    Assim,
  3. Integrando em relação a :
    Assim,
Agora, vamos comparar as expressões para obtidas em cada integração. A única maneira de todas elas serem verdadeiras simultaneamente é se a função dependente de outras variáveis ( , , ) for uma constante. Portanto, podemos escrever o potencial total como:
Onde é uma constante que geralmente pode ser desprezada, pois estamos interessados nas diferenças de potencial.

Passo 5

Agora, vamos verificar se nabla U = ( partial Upartial x, partial Upartial y, partial Upartial z ) de forma direta.
Calculando o gradiente de U = -kx^22 - ky^2 - 3kz^22 :
partial Upartial x = -k x
Substituindo partial Upartial y = -2k y :
partial Upartial z = -3k z
Calculando as derivadas:
  1. Em relação a nabla U = (-k x, -2k y, -3k z) :
    -nabla U = (k x, 2k y, 3k z) = F
  2. Em relação a :
  3. Em relação a :
Portanto,
Então,
Isso confirma que a força é igual a menos o gradiente de , conforme esperado.

Passo 6

Parte (b): F = k y,i + k x,j + 0,k

Vamos escrever a força de forma mais clara:
nabla times F = ( partialpartial y(0) - partialpartial z(k x) )i - ( partialpartial x(0) - partialpartial z(k y) )j + ( partialpartial x(k x) - partialpartial y(k y) )k
Agora, vamos calcular o rotacional de partialpartial y(0) = 0 :
partialpartial z(k x) = 0
Calculando cada termo:
  • Para partialpartial x(0) = 0 :
    partialpartial z(k y) = 0
    partialpartial x(k x) = k
    Então, partialpartial y(k y) = k :
  • Para :
    Então, :
  • Para :
    Então, :
Como o rotacional de é zero, a força é conservativa.

Passo 7

Vamos encontrar a energia potencial F = -nabla U correspondente. Sabemos que:
-partial Upartial x = k y
Então, podemos escrever:
-partial Upartial y = k x
-partial Upartial z = 0
-U = integral k y , dx = k y x + f(y, z)
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar U = -k x y + f(y, z) :
  1. Integrando em relação a -U = integral k x , dy = k x y + g(x, z) :
    U = -k x y + g(x, z)
    Assim,
    -U = integral 0 , dz = C(x, y)
  2. Integrando em relação a U = C(x, y) :
    U = -k x y + C
    Assim,
  3. Integrando em relação a :
    Assim,
Comparando as expressões para , vemos que:
Onde é uma constante.

Passo 8

Vamos verificar se nabla U = ( partial Upartial x, partial Upartial y, partial Upartial z ) de forma direta.
Calculando o gradiente de U = -k x y :
partial Upartial x = -k y
Substituindo partial Upartial y = -k x :
partial Upartial z = 0
Calculando as derivadas:
  1. Em relação a nabla U = (-k y, -k x, 0) :
    -nabla U = (k y, k x, 0) = F
  2. Em relação a :
  3. Em relação a :
Portanto,
Então,
Isso confirma que a força é igual a menos o gradiente de , conforme esperado.

Passo 9

Parte ©: F = -k y,i + k x,j + 0,k

Vamos escrever a força de forma mais clara:
nabla times F = ( partialpartial y(0) - partialpartial z(k x) )i - ( partialpartial x(0) - partialpartial z(-k y) )j + ( partialpartial x(k x) - partialpartial y(-k y) )k
Agora, vamos calcular o rotacional de partialpartial y(0) = 0 :
partialpartial z(k x) = 0
Calculando cada termo:
  • Para partialpartial x(0) = 0 :
    partialpartial z(-k y) = 0
    partialpartial x(k x) = k
    Então, partialpartial y(-k y) = -k :
  • Para :
    Então, :
  • Para :
    Então, :
Como o rotacional de não é zero ( ), a força não é conservativa.

Resposta

(a) Conservativa. Energia potencial .
(b) Conservativa. Energia potencial .
© Não conservativa.

Exercícios relacionados

Determine o rotacional, nabla times F, para as seguintes forças: (a) F=k r; (b) F=(A x, B y^2, C z^3); © F= ( A y^2, B x, C z ), onde A, B, C e k são constantes.
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