Quais das seguintes forças são conservativas? (a)
, onde
é uma constante. (b)
©
. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial
correspondente e verifique por derivação direta que
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você me passou pede para a gente identificar quais das forças listadas são conservativas. Além disso, para as forças que forem conservativas, precisamos encontrar a energia potencial
correspondente e comprovar que a força
é igual a menos o gradiente de
, ou seja,
.
Aqui, estamos lidando com o conceito de forças conservativas na física, que são aquelas forças onde o trabalho realizado não depende do caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especialmente o conceito de campo vetorial e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força
é dita conservativa se existe uma função escalar
tal que:
Aqui,
representa o gradiente de
, que basicamente nos dá a direção de maior aumento de
. Se a força puder ser expressa dessa forma, ela é conservativa.
Outra forma de verificar se uma força é conservativa é calcular o rotacional dessa força, ou seja,
. Se o rotacional for zero (
), então a força é conservativa.
Vamos aplicar esses conceitos a cada uma das forças fornecidas:
Passo 3
Parte (a):
Primeiro, vamos escrever a força de forma mais clara:
Agora, vamos calcular o rotacional de
:
Calculando cada termo:
-
Para
: Então,: -
Para
: Então,: -
Para
: Então,:
Como o rotacional de
é zero, a força é conservativa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a energia potencial
correspondente. Sabemos que:
Então, podemos escrever:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
:
-
Integrando em relação a
: Assim, -
Integrando em relação a
: Assim, -
Integrando em relação a
: Assim,
Agora, vamos comparar as expressões para
obtidas em cada integração. A única maneira de todas elas serem verdadeiras simultaneamente é se a função dependente de outras variáveis (
,
,
) for uma constante. Portanto, podemos escrever o potencial total como:
Onde
é uma constante que geralmente pode ser desprezada, pois estamos interessados nas diferenças de potencial.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
de forma direta.
Calculando o gradiente de
:
Substituindo
:
Calculando as derivadas:
-
Em relação a
: -
Em relação a
: -
Em relação a
:
Portanto,
Então,
Isso confirma que a força
é igual a menos o gradiente de
, conforme esperado.
Passo 6
Parte (b):
Vamos escrever a força de forma mais clara:
Agora, vamos calcular o rotacional de
:
Calculando cada termo:
-
Para
: Então,: -
Para
: Então,: -
Para
: Então,:
Como o rotacional de
é zero, a força é conservativa.
Passo 7
Vamos encontrar a energia potencial
correspondente. Sabemos que:
Então, podemos escrever:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
:
-
Integrando em relação a
: Assim, -
Integrando em relação a
: Assim, -
Integrando em relação a
: Assim,
Comparando as expressões para
, vemos que:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Vamos verificar se
de forma direta.
Calculando o gradiente de
:
Substituindo
:
Calculando as derivadas:
-
Em relação a
: -
Em relação a
: -
Em relação a
:
Portanto,
Então,
Isso confirma que a força
é igual a menos o gradiente de
, conforme esperado.
Passo 9
Parte ©:
Vamos escrever a força de forma mais clara:
Agora, vamos calcular o rotacional de
:
Calculando cada termo:
-
Para
: Então,: -
Para
: Então,: -
Para
: Então,:
Como o rotacional de
não é zero (
), a força não é conservativa.
Resposta
(a) Conservativa. Energia potencial
.
(b) Conservativa. Energia potencial
.
© Não conservativa.
Exercícios relacionados
Determine o rotacional,
, para as seguintes forças: (a)
; (b)
; ©
(
), onde
e
são constantes.
Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio
. Se o disco recebe um pequeno impulso, de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superficie da esfera?
Calcule o gradiente
das seguintes funções,
: (a)
; (b)
, com k constante. ©
; (d)
; (e)
(f)
.
Verifique se a força gravitacional
sobre uma carga pontual
em
, devido a uma massa pontual fixa
na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.