Determine o rotacional, nabla times F, para as seguintes forças: (a) F=k r; (b) F=(A x, B y^2, C z^3); © F= ( A y^2, B x, C z ), onde A, B, C e k são constantes.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o rotacional, nabla times F, para três campos de força diferentes. O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar da fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e aplicar ela a cada componente dos campos dados.

Passo 2

Parte (a): F = k r
Primeiro, vamos entender o que é r. Em coordenadas cartesianas, o vetor posição r é dado por (x, y, z). Então, o campo de força fica:
F = (k x, k y, k z)
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  • Componente x:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial (k z)partial y - partial (k y)partial z = 0 - 0 = 0
  • Componente y:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (k x)partial z - partial (k z)partial x = 0 - 0 = 0
  • Componente z:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (k y)partial x - partial (k x)partial y = 0 - 0 = 0

Passo 3

Parte (b): F = ( A x, B y^2, C z^3 )
Aplicando a mesma fórmula do rotacional:
  • Componente x:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial (C z^3)partial y - partial (B y^2)partial z = 0 - 0 = 0
  • Componente y:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (A x)partial z - partial (C z^3)partial x = 0 - 0 = 0
  • Componente z:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (B y^2)partial x - partial (A x)partial y = 0 - 0 = 0

Passo 4

Parte ©: F = ( A y^2, B x, C z )
Mais uma vez, aplicamos a fórmula do rotacional:
  • Componente x:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial (C z)partial y - partial (B x)partial z = 0 - 0 = 0
  • Componente y:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (A y^2)partial z - partial (C z)partial x = 0 - 0 = 0
  • Componente z:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (B x)partial x - partial (A y^2)partial y = B - 2 A y

Resposta

(a) nabla times F = (0, 0, 0);
(b) nabla times F = (0, 0, 0);
© nabla times F = (0, 0, B - 2 A y).

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