Determine o rotacional,
, para as seguintes forças: (a)
; (b)
; ©
(
), onde
e
são constantes.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o rotacional,
, para três campos de força diferentes. O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar da fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e aplicar ela a cada componente dos campos dados.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos entender o que é
. Em coordenadas cartesianas, o vetor posição
é dado por
. Então, o campo de força fica:
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Passo 3
Parte (b):
Aplicando a mesma fórmula do rotacional:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Passo 4
Parte ©:
Mais uma vez, aplicamos a fórmula do rotacional:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Resposta
(a)
;
(b)
;
©
.
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Quais das seguintes forças são conservativas? (a)
, onde
é uma constante. (b)
©
. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial
correspondente e verifique por derivação direta que
.
Calcule o gradiente
das seguintes funções,
: (a)
; (b)
, com k constante. ©
; (d)
; (e)
(f)
.