Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u.
f(x, y, z) = x * y^2 * z^3 ; P = (1, -2, 1) ; u = <1/raiz(3), 1/raiz(3), 1/raiz(3)>.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função no ponto e também determinar a taxa de variação de em na direção do versor . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o conceito de gradiente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Matematicamente, para uma função , o gradiente é dado por:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E, por fim, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto .
Substituindo os valores:
Fazendo as contas:

Passo 5

Agora, para encontrar a taxa de variação de na direção do vetor , usamos o produto escalar entre o gradiente e o versor da direção. A fórmula é:
çã
Onde representa o produto escalar. Vamos calcular isso.
Dados:
Calculando o produto escalar:

Resposta

O gradiente de no ponto é e a taxa de variação de em na direção de é .

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