Calcule o gradiente de
no ponto
e determine a taxa de variação de
em
na direção do versor
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função
no ponto
e também determinar a taxa de variação de
em
na direção do versor
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o conceito de gradiente. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Matematicamente, para uma função
, o gradiente é dado por:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
E, por fim, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto
.
Substituindo os valores:
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora, para encontrar a taxa de variação de
na direção do vetor
, usamos o produto escalar entre o gradiente e o versor da direção. A fórmula é:
Onde
representa o produto escalar. Vamos calcular isso.
Dados:
Calculando o produto escalar:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
e a taxa de variação de
em
na direção de
é
.