Determine a derivada direcional da função no ponto P dado e na direção do vetor v.
f(x, y, z) = x / (y + z) ; P = (4, 1, 1) ; v = <1, 2, 3>.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas direcionais! A gente tem uma função , um ponto específico e uma direção dada pelo vetor . Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, para achar a derivada direcional, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . Para isso, calculamos o módulo de :
O vetor unitário na direção de é então:

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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