Determine a derivada direcional da função no ponto
dado e na direção do vetor
.
.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas direcionais! A gente tem uma função
, um ponto específico
e uma direção dada pelo vetor
. Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, para achar a derivada direcional, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. Para isso, calculamos o módulo de
:
O vetor unitário na direção de
é então:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.