Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor . .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. As derivadas parciais de em relação a e são:
Portanto, o gradiente de é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização de um vetor é dada por:
Onde é o módulo do vetor:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:
Passo 5
A derivada direcional de no ponto na direção de é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .