Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor .
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Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. As derivadas parciais de em relação a e são:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização de um vetor é dada por:
Onde é o módulo do vetor:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional de no ponto na direção de é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor .
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Calcule o gradiente de no ponto e determine a taxa de variação de em na direção do versor .
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Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.