Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u.
f(x, y) = y ln x ; P = (1, -3) ; u = <-4/5, 3/5>.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função no ponto e também determinar a taxa de variação de em na direção do versor . Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar para encontrar essas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E agora a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto:
Para :
Para :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do versor . A taxa de variação na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o versor:

Passo 6

Calculando o produto escalar:

Resposta

O gradiente de no ponto é . A taxa de variação de em na direção do versor é ou .

Exercícios relacionados