Calcule o gradiente de no ponto e determine a taxa de variação de em na direção do versor . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função no ponto e também determinar a taxa de variação de em na direção do versor . Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar para encontrar essas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E agora a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto:
Para :
Para :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Agora, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do versor . A taxa de variação na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o versor:
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Resposta
O gradiente de no ponto é . A taxa de variação de em na direção do versor é ou .