Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u.
f(x, y, z)=x e^2 y z ; P=(3,0,2) ; u=lang<=23,-23, 13rang<=.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular o gradiente da função f(x, y, z)=x e^2 y z no ponto P=(3,0,2) e, em seguida, determinar a taxa de variação de f nesse ponto na direção do versor u=lang<=23,-23, 13rang<=. Esse exercício envolve o cálculo do gradiente, que é uma ferramenta importante na análise de funções multivariadas, e também uma aplicação desse gradiente para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e aplicar um pouco de álgebra!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função f. O gradiente, denotado por nabla f, é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação às suas variáveis. Ou seja:
nabla f = lang<= partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z rang<=
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x = e^2yz
Derivada parcial em relação a y:
Aqui, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial y = x cdot partialpartial y(e^2yz) = x cdot e^2yz cdot 2z = 2xze^2yz
Derivada parcial em relação a z:
Novamente, aplicamos a mesma lógica:
partial fpartial z = x cdot partialpartial z(e^2yz) = x cdot e^2yz cdot 2y = 2xye^2yz
Agora, substituímos as coordenadas do ponto P=(3,0,2) para encontrar o gradiente em P:
  1. Para partial fpartial x:
    partial fpartial x(3,0,2) = e^2 cdot 0 cdot 2 = e^0 = 1
  2. Para partial fpartial y:
    partial fpartial y(3,0,2) = 2 cdot 3 cdot 2 cdot e^2 cdot 0 cdot 2 = 12 cdot e^0 = 12
  3. Para partial fpartial z:
    partial fpartial z(3,0,2) = 2 cdot 3 cdot 0 cdot e^2 cdot 0 cdot 2 = 0
Assim, o gradiente nabla f no ponto P é:
nabla f(3,0,2) = lang<= 1, 12, 0 rang<=

Passo 3

Agora vamos calcular a taxa de variação da função f na direção do versor u. A taxa de variação em uma direção dada por um vetor u é encontrada usando a seguinte fórmula:
Duf = nabla f cdot u
onde cdot representa o produto escalar. Vamos calcular esse produto escalar.
Primeiro, substituímos os valores que encontramos:
Duf = lang<= 1, 12, 0 rang<= cdot lang<= 23, -23, 13 rang<=
Agora, precisamos fazer o cálculo do produto escalar:
Duf = 1 cdot 23 + 12 cdot (-23) + 0 cdot 13
Duf = 23 - 243 + 0 = 23 - 8 = 23 - 243 = -223

Resposta

Então, a taxa de variação de f em P na direção do versor u é -223.

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