Calcule o gradiente de no ponto e determine a taxa de variação de em na direção do versor .
.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular o gradiente da função no ponto e, em seguida, determinar a taxa de variação de nesse ponto na direção do versor . Esse exercício envolve o cálculo do gradiente, que é uma ferramenta importante na análise de funções multivariadas, e também uma aplicação desse gradiente para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e aplicar um pouco de álgebra!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Aqui, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivada parcial em relação a :
Novamente, aplicamos a mesma lógica:
Agora, substituímos as coordenadas do ponto para encontrar o gradiente em :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Assim, o gradiente no ponto é:

Passo 3

Agora vamos calcular a taxa de variação da função na direção do versor . A taxa de variação em uma direção dada por um vetor é encontrada usando a seguinte fórmula:
onde representa o produto escalar. Vamos calcular esse produto escalar.
Primeiro, substituímos os valores que encontramos:
Agora, precisamos fazer o cálculo do produto escalar:

Resposta

Então, a taxa de variação de em na direção do versor é .

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