Calcule o gradiente de
no ponto
e determine a taxa de variação de
em
na direção do versor
.
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular o gradiente da função
no ponto
e, em seguida, determinar a taxa de variação de
nesse ponto na direção do versor
. Esse exercício envolve o cálculo do gradiente, que é uma ferramenta importante na análise de funções multivariadas, e também uma aplicação desse gradiente para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e aplicar um pouco de álgebra!
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Aqui, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivada parcial em relação a
:
Novamente, aplicamos a mesma lógica:
Novamente, aplicamos a mesma lógica:
Agora, substituímos as coordenadas do ponto
para encontrar o gradiente em
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Assim, o gradiente
no ponto
é:
Passo 3
Agora vamos calcular a taxa de variação da função
na direção do versor
. A taxa de variação em uma direção dada por um vetor
é encontrada usando a seguinte fórmula:
onde
representa o produto escalar. Vamos calcular esse produto escalar.
Primeiro, substituímos os valores que encontramos:
Agora, precisamos fazer o cálculo do produto escalar:
Resposta
Então, a taxa de variação de
em
na direção do versor
é
.
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, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.
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, é uma solução da equação diferencial associada.
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, onde
e
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.