Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a: $f(x)=\operatorname{sen} x, \quad a=\pi / 2"

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. Temos a função f(x) = sen x e queremos encontrar a série de Taylor centrada em a = pi2. A série de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando polinômios, baseando-se nas derivadas da função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar essas derivadas no ponto a.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas da função f(x) = sen x.
  1. A primeira derivada é f'(x) = cos x.
  2. A segunda derivada é f''(x) = -sen x.
  3. A terceira derivada é f'''(x) = -cos x.
  4. A quarta derivada é f^(4)(x) = sen x.
Perceba que depois da quarta derivada, as derivadas começam a se repetir. Isso é importante! Agora, vamos avaliar todas essas derivadas no ponto a = pi2.
  • f(pi2) = sen(pi2) = 1.
  • f'(pi2) = cos(pi2) = 0.
  • f''(pi2) = -sen(pi2) = -1.
  • f'''(pi2) = -cos(pi2) = 0.
  • f^(4)(pi2) = sen(pi2) = 1.

Passo 3

Agora que temos as derivadas avaliadas, precisamos usar a fórmula da série de Taylor. A fórmula é:
S(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + f^(4)(a)4!(x - a)^4 + ldots
Substituindo os valores que encontramos:
S(x) = 1 + 0 cdot (x - pi2) - 12!(x - pi2)^2 + 0 cdot (x - pi2)^3 + 14!(x - pi2)^4 + ldots
A partir daí, só precisamos simplificar e manter os termos não nulos, e a série fica assim:
S(x) = 1 - (x - pi2)^22 + (x - pi2)^424 + ldots
Assim, estamos construindo a série de Taylor em torno de a = pi2.

Resposta

A série de Taylor de f(x) = sen x centrada em a = pi2 é:
S(x) = 1 - (x - pi2)^22 + (x - pi2)^424 + ldots

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