Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de : $f(x)=\operatorname{sen} x, \quad a=\pi / 2"

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. Temos a função e queremos encontrar a série de Taylor centrada em . A série de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando polinômios, baseando-se nas derivadas da função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar essas derivadas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas da função .
  1. A primeira derivada é .
  2. A segunda derivada é .
  3. A terceira derivada é .
  4. A quarta derivada é .
Perceba que depois da quarta derivada, as derivadas começam a se repetir. Isso é importante! Agora, vamos avaliar todas essas derivadas no ponto .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Passo 3

Agora que temos as derivadas avaliadas, precisamos usar a fórmula da série de Taylor. A fórmula é:
Substituindo os valores que encontramos:
A partir daí, só precisamos simplificar e manter os termos não nulos, e a série fica assim:
Assim, estamos construindo a série de Taylor em torno de .

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

Exercícios relacionados

Calcule o gradiente de no ponto e determine a taxa de variação de em na direção do versor .
.
Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
; .
Use o Teorema de Green para calcular:
, onde e é o o círculo orientado no sentido horário. .
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
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