Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
: $f(x)=\operatorname{sen} x, \quad a=\pi / 2"
Passo 1
Vamos resumir o enunciado. Temos a função
e queremos encontrar a série de Taylor centrada em
. A série de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando polinômios, baseando-se nas derivadas da função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar essas derivadas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas da função
.
- A primeira derivada é
. - A segunda derivada é
. - A terceira derivada é
. - A quarta derivada é
.
Perceba que depois da quarta derivada, as derivadas começam a se repetir. Isso é importante! Agora, vamos avaliar todas essas derivadas no ponto
.
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 3
Agora que temos as derivadas avaliadas, precisamos usar a fórmula da série de Taylor. A fórmula é:
Substituindo os valores que encontramos:
A partir daí, só precisamos simplificar e manter os termos não nulos, e a série fica assim:
Assim, estamos construindo a série de Taylor em torno de
.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente de
no ponto
e determine a taxa de variação de
em
na direção do versor
.
.
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.
Use o Teorema de Green para calcular:
, onde
e
é o o círculo
orientado no sentido horário.
.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
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