Use o Teorema de Green para calcular:
, onde
e
é o o círculo
orientado no sentido horário.
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. O campo vetorial
é dado por
, e a curva
é o círculo definido pela equação
. Isso significa que estamos lidando com um círculo com centro em
e raio
. O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que pode ser muito mais fácil de calcular.
Passo 2
Antes de usar o Teorema de Green, precisamos relembrar o que ele diz. O teorema afirma que para um campo vetorial
, onde
e
são funções contínuas com derivadas contínuas, a integral de linha ao longo de uma curva fechada
é igual à integral dupla da divergência de
sobre a região
delimitada por
. Ou seja:
Agora, precisamos identificar
e
no nosso campo
. Aqui, temos
e
. Vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 3
Vamos calcular
e
.
-
Cálculo de
: -
- Portanto,
.
-
-
Cálculo de
: -
- Então,
.
-
Agora que temos as duas derivadas, podemos encontrar a divergência:
Passo 4
Agora que encontramos a divergência, vamos substituir essa informação na integral dupla. Assim, precisamos calcular:
Como
é a região do círculo definido por
, precisamos calcular a área dessa região. O círculo tem raio
, então:
Agora substituímos isso na integral:
Resposta
Assim, o resultado final da integral
é
.