Use o Teorema de Green para calcular:
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(y-cos (y), x sen(y)) e C é o o círculo (x-3)^2+(y+4)^2=4 orientado no sentido horário. 4 pi.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Green. O campo vetorial F(x, y) é dado por (y - cos(y), x sin(y)), e a curva C é o círculo definido pela equação (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 4. Isso significa que estamos lidando com um círculo com centro em (3, -4) e raio 2. O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que pode ser muito mais fácil de calcular.

Passo 2

Antes de usar o Teorema de Green, precisamos relembrar o que ele diz. O teorema afirma que para um campo vetorial F = (P, Q), onde P e Q são funções contínuas com derivadas contínuas, a integral de linha ao longo de uma curva fechada C é igual à integral dupla da divergência de F sobre a região R delimitada por C. Ou seja:
integralC F cdot dr = integral duplaR (partial Qpartial x - partial Ppartial y) dA
Agora, precisamos identificar P e Q no nosso campo F(x, y). Aqui, temos P = y - cos(y) e Q = x sin(y). Vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y.
  1. Cálculo de partial Qpartial x:
    • Q = x sin(y)
    • Portanto, partial Qpartial x = sin(y).
  2. Cálculo de partial Ppartial y:
    • P = y - cos(y)
    • Então, partial Ppartial y = 1 + sin(y).
Agora que temos as duas derivadas, podemos encontrar a divergência:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = sin(y) - (1 + sin(y)) = -1

Passo 4

Agora que encontramos a divergência, vamos substituir essa informação na integral dupla. Assim, precisamos calcular:
integral duplaR (-1) dA
Como R é a região do círculo definido por (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 4, precisamos calcular a área dessa região. O círculo tem raio 2, então:
Área do círculo = pi r^2 = pi (2)^2 = 4piÁí
Agora substituímos isso na integral:
integral duplaR (-1) dA = -Área(R) = -4piÁ

Resposta

Assim, o resultado final da integral integralC F cdot dr é -4 pi.

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