Calcule o gradiente de
no ponto
e determine a taxa de variação de
em
na direção do versor
.
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular o gradiente da função
no ponto
e determinar a taxa de variação de
em
na direção do versor
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente. Além disso, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente e o versor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função
muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Para
:
Tomamos a derivada em relação a
, tratando
como constante:
Para
:
Agora, derivamos em relação a
, tratando
como constante:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente
, que é composto por essas derivadas:
Passo 4
Vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituímos
e
nas derivadas parciais:
Para
em
:
Para
em
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Agora, para encontrar a taxa de variação de
na direção do versor
, usamos a fórmula da derivada direcional:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o versor
.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
. A taxa de variação de
em
na direção do versor
é aproximadamente
.