Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u.
f(x, y) = 5 * x * y^2 - 4 * x^3 * y ; P = (1, 2) ; u = <5/13, 12/13>.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular o gradiente da função no ponto e determinar a taxa de variação de em na direção do versor . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente. Além disso, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente e o versor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Para :
Tomamos a derivada em relação a , tratando como constante:
Para :
Agora, derivamos em relação a , tratando como constante:

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente , que é composto por essas derivadas:

Passo 4

Vamos calcular o gradiente no ponto . Substituímos e nas derivadas parciais:
Para em :
Para em :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, para encontrar a taxa de variação de na direção do versor , usamos a fórmula da derivada direcional:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar entre o gradiente no ponto e o versor .

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

O gradiente de no ponto é . A taxa de variação de em na direção do versor é aproximadamente .

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