Resolver pelo método gráfico o seguinte problema:
Sujeito a:
Sujeito a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização gráfica juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o valor máximo da função
sujeita a algumas restrições. Aqui estamos trabalhando com programação linear, que é uma técnica matemática usada pra otimizar (maximizar ou minimizar) uma função objetivo, respeitando certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as restrições do problema. Temos as inequações:
Essas inequações definem a região viável onde nossas soluções podem estar.
Passo 3
Vamos desenhar cada uma dessas restrições no gráfico
vs
:
-
: - Quando
, - Quando
,
- Quando
-
: - Quando
, - Quando
,
- Quando
-
: - Quando
, - Quando
, (como , só consideramos até , onde )
- Quando
-
: - É uma linha horizontal no
- É uma linha horizontal no
Além disso,
e
indicam que só consideramos a primeira quadrante.
Passo 4
Após desenhar todas as restrições, a região viável é a área onde todas as condições se sobrepõem. Nessa região, os pontos vértice são candidatos para serem a solução ótima.
Vamos encontrar esses pontos de interseção:
-
Interseção entre
e : Resolvendo o sistema:Da segunda equação,. Substituindo na primeira: Então, o ponto é. -
Interseção entre
e : Resolvendo o sistema:Somando as equaç��es:Mas, então esse ponto está fora da região viável. -
Interseção entre
e : Substituindo:Então, o ponto é. -
Interseção entre
e : Substituindo:Então, o ponto é. -
Pontos nos eixos:
-
-
(interseção de com o eixo ) -
(interseção de com o eixo )
-
Passo 5
Agora, temos os seguintes pontos na região viável:
Vamos calcular o valor de
em cada ponto:
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
Passo 6
Comparando os valores de
em cada ponto:
-
: 0 -
: 4 -
: ≈21.33 -
: 18 -
: 21 -
: 20
O maior valor de
é aproximadamente 21.33 no ponto
.
Resposta
O valor máximo de
é aproximadamente 21,33 atingido em
.