Resolver pelo método gráfico o seguinte problema:
Max(Z)=5 x1+4 x2
Sujeito a:
& 6 x1+4 x2 <= 24 & x1+2 x2 <= 6 & -x1+x2 <= 1 & x2 <= 2 & x1, x2 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização gráfica juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o valor máximo da função sujeita a algumas restrições. Aqui estamos trabalhando com programação linear, que é uma técnica matemática usada pra otimizar (maximizar ou minimizar) uma função objetivo, respeitando certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as restrições do problema. Temos as inequações:
6x1 + 4x2 &<= 24 x1 + 2x2 &<= 6 -x1 + x2 &<= 1 x2 &<= 2 x1, x2 &>= 0
Essas inequações definem a região viável onde nossas soluções podem estar.

Passo 3

Vamos desenhar cada uma dessas restrições no gráfico vs :
  1. :
    • Quando ,
    • Quando ,
  2. :
    • Quando ,
    • Quando ,
  3. :
    • Quando ,
    • Quando , (como , só consideramos até , onde )
  4. :
    • É uma linha horizontal no
Além disso, e indicam que só consideramos a primeira quadrante.

Passo 4

Após desenhar todas as restrições, a região viável é a área onde todas as condições se sobrepõem. Nessa região, os pontos vértice são candidatos para serem a solução ótima.
Vamos encontrar esses pontos de interseção:
  1. Interseção entre 6x1 + 4x2 = 24 x1 + 2x2 = 6 e 6(6 - 2x2) + 4x2 = 24 36 - 12x2 + 4x2 = 24 -8x2 = -12 x2 = 1.5 x1 = 6 - 2(1.5) = 3 :
    Resolvendo o sistema:
    x1 + 2x2 = 6 -x1 + x2 = 1
    Da segunda equação, 3x2 = 7 Rightarrow x2 = 73 approx 2.333 . Substituindo na primeira:
    x1 + 2(2) = 6 Rightarrow x1 = 2
    Então, o ponto é 6x1 + 4(2) = 24 Rightarrow 6x1 = 16 Rightarrow x1 = 166 approx 2.666 .
  2. Interseção entre e :
    Resolvendo o sistema:
    Somando as equa�es:
    Mas , então esse ponto está fora da região viável.
  3. Interseção entre e :
    Substituindo:
    Então, o ponto é .
  4. Interseção entre e :
    Substituindo:
    Então, o ponto é .
  5. Pontos nos eixos:
    • (interseção de com o eixo )
    • (interseção de com o eixo )

Passo 5

Agora, temos os seguintes pontos na região viável:
  • Z = 5(0) + 4(0) = 0
  • Z = 5(0) + 4(1) = 4
  • Z = 5(83) + 4(2) = 403 + 8 = 643 approx 21.33
  • Z = 5(2) + 4(2) = 10 + 8 = 18
  • Z = 5(3) + 4(1.5) = 15 + 6 = 21
  • Z = 5(4) + 4(0) = 20 + 0 = 20
Vamos calcular o valor de em cada ponto:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :
  6. :

Passo 6

Comparando os valores de em cada ponto:
  • : 0
  • : 4
  • : ≈21.33
  • : 18
  • : 21
  • : 20
O maior valor de é aproximadamente 21.33 no ponto .

Resposta

O valor máximo de é aproximadamente 21,33 atingido em .

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