Determinar as regiões factíveis e as soluções extremas de:
  • x1 - x2 <= 2, x1 - x2 >= -2, x1 + x2 >= 1, x1 >= 0, x2 >= 0
  • x1 - 2 x2 <= 2, 2 x1 - x2 >= -2, x1 >= 0, x2 >= 0
  • x1 + x2 >= 4, x1 - 2 x2 <= 1, x1 - x2 >= -2, x1 >= 0, x2 >= 0
  • x1 + x2 <= 3, -2 x1 + x2 <= 2, x1 - 2 x2 <= 0, x1 >= 0, x2 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de inequações que define uma região no plano - . O objetivo é encontrar quais pontos satisfazem todas essas inequações (a região factível) e identificar os pontos extremos dessa região. Para isso, vamos precisar desenhar cada inequação, encontrar os pontos de interseção e verificar quais pontos pertencem à região factível.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as inequações do sistema:

Passo 3

Vamos desenhar cada uma dessas inequações no plano:
  1. : Representa todos os pontos abaixo da linha .
  2. : Inclui os pontos acima da linha .
  3. : Abrange os pontos acima da linha .
  4. : Toda a área à direita do eixo .
  5. : Toda a área acima do eixo .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas linhas, que vão nos ajudar a determinar os vértices da região factível.
  1. Interseção de e :
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Como , esse ponto não está na região factível.
  1. Interseção de e :
Somando as duas equações:
Como , esse ponto também não está na região factível.
  1. Interseção de e :
Substituindo na primeira equação:
Ponto: (2, 0)
  1. Interseção de e :
Substituindo :
Ponto: (1, 0)
  1. Interseção de e :
Substituindo :
Ponto: (0, 2)
  1. Interseção de e :
Substituindo :
Ponto: (0, 1)

Passo 5

Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro da região factível, ou seja, que satisfazem todas as inequações do sistema.
  • Ponto (2, 0):
  • Ponto (1, 0):
  • Ponto (0, 2):
  • Ponto (0, 1):
Todos esses pontos satisfazem todas as inequações do sistema.

Passo 6

Com os pontos verificados, podemos desenhar a região factível no plano - . Essa região é um polígono de quatro lados definido pelos vértices:
  • (2, 0)
  • (1, 0)
  • (0, 1)
  • (0, 2)
Esses são os pontos extremos da região factível.

Resposta

A região factível é o polígono com vértices nos pontos (2, 0), (1, 0), (0, 1) e (0, 2). As soluções extremas são esses quatro pontos.

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