Determinar as regiões factíveis e as soluções extremas de:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de inequações que define uma região no plano -. O objetivo é encontrar quais pontos satisfazem todas essas inequações (a região factível) e identificar os pontos extremos dessa região. Para isso, vamos precisar desenhar cada inequação, encontrar os pontos de interseção e verificar quais pontos pertencem à região factível.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as inequações do sistema:
Passo 3
Vamos desenhar cada uma dessas inequações no plano:
: Representa todos os pontos abaixo da linha .
: Inclui os pontos acima da linha .
: Abrange os pontos acima da linha .
: Toda a área à direita do eixo .
: Toda a área acima do eixo .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas linhas, que vão nos ajudar a determinar os vértices da região factível.
Interseção de e :
Somando as duas equações:
⇒
Substituindo em :
⇒
Como , esse ponto não está na região factível.
Interseção de e :
Somando as duas equações:
⇒
Como , esse ponto também não está na região factível.
Interseção de e :
Substituindo na primeira equação:
Ponto: (2, 0)
Interseção de e :
Substituindo :
Ponto: (1, 0)
Interseção de e :
Substituindo :
⇒
Ponto: (0, 2)
Interseção de e :
Substituindo :
Ponto: (0, 1)
Passo 5
Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro da região factível, ou seja, que satisfazem todas as inequações do sistema.
Ponto (2, 0):
Ponto (1, 0):
Ponto (0, 2):
Ponto (0, 1):
Todos esses pontos satisfazem todas as inequações do sistema.
Passo 6
Com os pontos verificados, podemos desenhar a região factível no plano -. Essa região é um polígono de quatro lados definido pelos vértices:
(2, 0)
(1, 0)
(0, 1)
(0, 2)
Esses são os pontos extremos da região factível.
Resposta
A região factível é o polígono com vértices nos pontos (2, 0), (1, 0), (0, 1) e (0, 2). As soluções extremas são esses quatro pontos.