Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u.
f(x, y, z) = raiz(x + y * z) ; P = (1, 3, 1) ; u = <2/7, 3/7, 6/7>.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função no ponto e depois descobrir qual é a taxa de variação de nesse ponto na direção do versor . Para isso, a gente vai precisar usar derivadas parciais e entender o que é o gradiente e a taxa de variação direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Ou seja, para , o gradiente é:
Ele nos dá a direção de maior crescimento da função e a sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
A função é .
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, calculamos em :
Então,
Portanto, o gradiente de em é:

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação de na direção do versor , usamos o produto escalar entre o gradiente e :
Calculando o produto escalar:

Resposta

O gradiente de no ponto é . A taxa de variação de em na direção do versor é .

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