Calcule o gradiente de no ponto e determine a taxa de variação de em na direção do versor . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função no ponto e depois descobrir qual é a taxa de variação de nesse ponto na direção do versor . Para isso, a gente vai precisar usar derivadas parciais e entender o que é o gradiente e a taxa de variação direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Ou seja, para , o gradiente é:
Ele nos dá a direção de maior crescimento da função e a sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
A função é .
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, calculamos em :
Então,
Portanto, o gradiente de em é:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação de na direção do versor , usamos o produto escalar entre o gradiente e :
Calculando o produto escalar:
Resposta
O gradiente de no ponto é . A taxa de variação de em na direção do versor é .